Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22500 / 39111
↖ ↑ ↗
← S 32.874974°
W 56.403809°		 ← 512.97 m → S 32.874974°
W 56.398316°		 →
↑
512.99 m
↓
↑
512.99 m
↓
S 32.879587°
W 56.403809°		 ← 512.95 m →
263 145 m²		 S 32.879587°
W 56.398316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343330383300781 y=0.596794128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343330383300781 × 216)
    floor (0.343330383300781 × 65536)
    floor (22500.5)     		tx = 22500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596794128417969 × 216)
    floor (0.596794128417969 × 65536)
    floor (39111.5)     		ty = 39111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22500 / 39111 ti = "16/22500/39111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22500/39111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22500 ÷ 216
    22500 ÷ 65536     		x = 0.34332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39111 ÷ 216
    39111 ÷ 65536     		y = 0.596786499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.3133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98443217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596786499023438 × 2 - 1) × π
    -0.193572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.608127508580032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98443217} λ = -0.98443217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608127508580032))-π/2
    2×atan(0.544369242064663)-π/2
    2×0.498509896066369-π/2
    0.997019792132739-1.57079632675     		φ = -0.57377653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98443217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57377653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.874974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22500 KachelY 39111 -0.98443217 -0.57377653 -56.403809 -32.874974
    Oben rechts KachelX + 1 22501 KachelY 39111 -0.98433630 -0.57377653 -56.398316 -32.874974
    Unten links KachelX 22500 KachelY + 1 39112 -0.98443217 -0.57385705 -56.403809 -32.879587
    Unten rechts KachelX + 1 22501 KachelY + 1 39112 -0.98433630 -0.57385705 -56.398316 -32.879587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57377653--0.57385705) × R
    8.05200000000283e-05 × 6371000     		dl = 512.992920000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57377653--0.57385705) × R
    8.05200000000283e-05 × 6371000     		dr = 512.992920000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98443217--0.98433630) × cos(-0.57377653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839857039721495 × 6371000     		do = 512.974408410282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98443217--0.98433630) × cos(-0.57385705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839813330126381 × 6371000     		du = 512.947711124155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57377653)-sin(-0.57385705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839857039721495-0.839813330126381)×R²
    abs(-0.98433630--0.98443217)×4.37095951132394e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37095951132394e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37095951132394e-05×40589641000000     		ar = 263145.39203838m²