Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 225 / 150
↖ ↑ ↗
← N 59.534318°
W 21.796875°		 ← 39.641 km → N 59.534318°
W 21.093750°		 →
↑
39.851 km
↓
↑
39.851 km
↓
N 59.175928°
W 21.796875°		 ← 40.062 km →
1 588.13 km²		 N 59.175928°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4404296875 y=0.2939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4404296875 × 29)
    floor (0.4404296875 × 512)
    floor (225.5)     		tx = 225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2939453125 × 29)
    floor (0.2939453125 × 512)
    floor (150.5)     		ty = 150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 225 / 150 ti = "9/225/150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/225/150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 225 ÷ 29
    225 ÷ 512     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 150 ÷ 29
    150 ÷ 512     		y = 0.29296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29296875 × 2 - 1) × π
    0.4140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30081570808984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30081570808984))-π/2
    2×atan(3.67229096366478)-π/2
    2×1.30493309691225-π/2
    2.60986619382449-1.57079632675     		φ = 1.03906987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03906987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.534318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 225 KachelY 150 -0.38042724 1.03906987 -21.796875 59.534318
    Oben rechts KachelX + 1 226 KachelY 150 -0.36815539 1.03906987 -21.093750 59.534318
    Unten links KachelX 225 KachelY + 1 151 -0.38042724 1.03281479 -21.796875 59.175928
    Unten rechts KachelX + 1 226 KachelY + 1 151 -0.36815539 1.03281479 -21.093750 59.175928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03906987-1.03281479) × R
    0.00625508000000008 × 6371000     		dl = 39851.1146800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03906987-1.03281479) × R
    0.00625508000000008 × 6371000     		dr = 39851.1146800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.36815539) × cos(1.03906987) × R
    0.01227185 × 0.507022186184862 × 6371000     		do = 39641.0004731587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.36815539) × cos(1.03281479) × R
    0.01227185 × 0.512403692070203 × 6371000     		du = 40061.7478943955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03906987)-sin(1.03281479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507022186184862-0.512403692070203)×R²
    abs(-0.36815539--0.38042724)×0.00538150588534159×R²
    0.01227185×0.00538150588534159×6371000²
    0.01227185×0.00538150588534159×40589641000000     		ar = 1588126860.84769m²