Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22499 / 39115
↖ ↑ ↗
← S 32.893426°
W 56.409302°		 ← 512.87 m → S 32.893426°
W 56.403809°		 →
↑
512.87 m
↓
↑
512.87 m
↓
S 32.898038°
W 56.409302°		 ← 512.84 m →
263 025 m²		 S 32.898038°
W 56.403809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343315124511719 y=0.596855163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343315124511719 × 216)
    floor (0.343315124511719 × 65536)
    floor (22499.5)     		tx = 22499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596855163574219 × 216)
    floor (0.596855163574219 × 65536)
    floor (39115.5)     		ty = 39115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22499 / 39115 ti = "16/22499/39115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22499/39115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22499 ÷ 216
    22499 ÷ 65536     		x = 0.343307495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39115 ÷ 216
    39115 ÷ 65536     		y = 0.596847534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343307495117188 × 2 - 1) × π
    -0.313385009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98452804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596847534179688 × 2 - 1) × π
    -0.193695068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.608511003776993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98452804} λ = -0.98452804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608511003776993))-π/2
    2×atan(0.544160519099644)-π/2
    2×0.498348872259477-π/2
    0.996697744518954-1.57079632675     		φ = -0.57409858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98452804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.409302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57409858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.893426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22499 KachelY 39115 -0.98452804 -0.57409858 -56.409302 -32.893426
    Oben rechts KachelX + 1 22500 KachelY 39115 -0.98443217 -0.57409858 -56.403809 -32.893426
    Unten links KachelX 22499 KachelY + 1 39116 -0.98452804 -0.57417908 -56.409302 -32.898038
    Unten rechts KachelX + 1 22500 KachelY + 1 39116 -0.98443217 -0.57417908 -56.403809 -32.898038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57409858--0.57417908) × R
    8.04999999999279e-05 × 6371000     		dl = 512.86549999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57409858--0.57417908) × R
    8.04999999999279e-05 × 6371000     		dr = 512.86549999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98452804--0.98443217) × cos(-0.57409858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83968218496509 × 6371000     		do = 512.867609263543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98452804--0.98443217) × cos(-0.57417908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.839638464457 × 6371000     		du = 512.840905311904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57409858)-sin(-0.57417908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83968218496509-0.839638464457)×R²
    abs(-0.98443217--0.98452804)×4.37205080894287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37205080894287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37205080894287e-05×40589641000000     		ar = 263025.255232563m²