Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22498 / 39120
↖ ↑ ↗
← S 32.916485°
W 56.414795°		 ← 512.79 m → S 32.916485°
W 56.409302°		 →
↑
512.74 m
↓
↑
512.74 m
↓
S 32.921097°
W 56.414795°		 ← 512.76 m →
262 919 m²		 S 32.921097°
W 56.409302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343299865722656 y=0.596931457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343299865722656 × 216)
    floor (0.343299865722656 × 65536)
    floor (22498.5)     		tx = 22498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596931457519531 × 216)
    floor (0.596931457519531 × 65536)
    floor (39120.5)     		ty = 39120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22498 / 39120 ti = "16/22498/39120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22498/39120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22498 ÷ 216
    22498 ÷ 65536     		x = 0.343292236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39120 ÷ 216
    39120 ÷ 65536     		y = 0.596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.31341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98462392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.19384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.608990372773193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98462392} λ = -0.98462392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608990372773193))-π/2
    2×atan(0.543899727930426)-π/2
    2×0.498147639657202-π/2
    0.996295279314403-1.57079632675     		φ = -0.57450105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98462392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.414795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57450105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.916485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22498 KachelY 39120 -0.98462392 -0.57450105 -56.414795 -32.916485
    Oben rechts KachelX + 1 22499 KachelY 39120 -0.98452804 -0.57450105 -56.409302 -32.916485
    Unten links KachelX 22498 KachelY + 1 39121 -0.98462392 -0.57458153 -56.414795 -32.921097
    Unten rechts KachelX + 1 22499 KachelY + 1 39121 -0.98452804 -0.57458153 -56.409302 -32.921097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57450105--0.57458153) × R
    8.04800000000494e-05 × 6371000     		dl = 512.738080000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57450105--0.57458153) × R
    8.04800000000494e-05 × 6371000     		dr = 512.738080000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98462392--0.98452804) × cos(-0.57450105) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.839463544319285 × 6371000     		do = 512.787548453144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98462392--0.98452804) × cos(-0.57458153) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.839419807480392 × 6371000     		du = 512.760831740376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57450105)-sin(-0.57458153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839463544319285-0.839419807480392)×R²
    abs(-0.98452804--0.98462392)×4.3736838892694e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.3736838892694e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.3736838892694e-05×40589641000000     		ar = 262918.853845869m²