Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22497 / 39007
↖ ↑ ↗
← S 32.393878°
W 56.420288°		 ← 515.74 m → S 32.393878°
W 56.414795°		 →
↑
515.73 m
↓
↑
515.73 m
↓
S 32.398516°
W 56.420288°		 ← 515.71 m →
265 977 m²		 S 32.398516°
W 56.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343284606933594 y=0.595207214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343284606933594 × 216)
    floor (0.343284606933594 × 65536)
    floor (22497.5)     		tx = 22497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595207214355469 × 216)
    floor (0.595207214355469 × 65536)
    floor (39007.5)     		ty = 39007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22497 / 39007 ti = "16/22497/39007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22497/39007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22497 ÷ 216
    22497 ÷ 65536     		x = 0.343276977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39007 ÷ 216
    39007 ÷ 65536     		y = 0.595199584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343276977539062 × 2 - 1) × π
    -0.313446044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98471979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595199584960938 × 2 - 1) × π
    -0.190399169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.598156633459061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98471979} λ = -0.98471979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598156633459061))-π/2
    2×atan(0.549824230105508)-π/2
    2×0.502708252816313-π/2
    1.00541650563263-1.57079632675     		φ = -0.56537982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98471979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.420288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56537982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.393878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22497 KachelY 39007 -0.98471979 -0.56537982 -56.420288 -32.393878
    Oben rechts KachelX + 1 22498 KachelY 39007 -0.98462392 -0.56537982 -56.414795 -32.393878
    Unten links KachelX 22497 KachelY + 1 39008 -0.98471979 -0.56546077 -56.420288 -32.398516
    Unten rechts KachelX + 1 22498 KachelY + 1 39008 -0.98462392 -0.56546077 -56.414795 -32.398516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56537982--0.56546077) × R
    8.09499999999685e-05 × 6371000     		dl = 515.7324499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56537982--0.56546077) × R
    8.09499999999685e-05 × 6371000     		dr = 515.7324499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98471979--0.98462392) × cos(-0.56537982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844385177871465 × 6371000     		do = 515.740139813155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98471979--0.98462392) × cos(-0.56546077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844341807229663 × 6371000     		du = 515.713649555565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56537982)-sin(-0.56546077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844385177871465-0.844341807229663)×R²
    abs(-0.98462392--0.98471979)×4.3370641802154e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3370641802154e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3370641802154e-05×40589641000000     		ar = 265977.095071899m²