Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22496 / 10464
↖ ↑ ↗
← N 54.367758°
E 67.148437°		 ← 711.70 m → N 54.367758°
E 67.159424°		 →
↑
711.70 m
↓
↑
711.70 m
↓
N 54.361358°
E 67.148437°		 ← 711.81 m →
506 562 m²		 N 54.361358°
E 67.159424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686538696289062 y=0.319351196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686538696289062 × 215)
    floor (0.686538696289062 × 32768)
    floor (22496.5)     		tx = 22496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319351196289062 × 215)
    floor (0.319351196289062 × 32768)
    floor (10464.5)     		ty = 10464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22496 / 10464 ti = "15/22496/10464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22496/10464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22496 ÷ 215
    22496 ÷ 32768     		x = 0.6865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10464 ÷ 215
    10464 ÷ 32768     		y = 0.3193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17196132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3193359375 × 2 - 1) × π
    0.361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17196132} λ = 1.17196132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13514578300293))-π/2
    2×atan(3.11162713218885)-π/2
    2×1.2598463599751-π/2
    2.5196927199502-1.57079632675     		φ = 0.94889639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17196132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.148437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94889639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.367758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22496 KachelY 10464 1.17196132 0.94889639 67.148437 54.367758
    Oben rechts KachelX + 1 22497 KachelY 10464 1.17215307 0.94889639 67.159424 54.367758
    Unten links KachelX 22496 KachelY + 1 10465 1.17196132 0.94878468 67.148437 54.361358
    Unten rechts KachelX + 1 22497 KachelY + 1 10465 1.17215307 0.94878468 67.159424 54.361358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94889639-0.94878468) × R
    0.000111709999999987 × 6371000     		dl = 711.704409999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94889639-0.94878468) × R
    0.000111709999999987 × 6371000     		dr = 711.704409999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17196132-1.17215307) × cos(0.94889639) × R
    0.000191749999999935 × 0.582580428535012 × 6371000     		do = 711.70311777995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17196132-1.17215307) × cos(0.94878468) × R
    0.000191749999999935 × 0.582671219778118 × 6371000     		du = 711.814031926085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94889639)-sin(0.94878468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582580428535012-0.582671219778118)×R²
    abs(1.17215307-1.17196132)×9.07912431064029e-05×R²
    0.000191749999999935×9.07912431064029e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.07912431064029e-05×40589641000000     		ar = 506561.717104986m²