Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22495 / 6165
↖ ↑ ↗
← N 73.955903°
E 67.137451°		 ← 337.63 m → N 73.955903°
E 67.148437°		 →
↑
337.60 m
↓
↑
337.60 m
↓
N 73.952866°
E 67.137451°		 ← 337.70 m →
113 995 m²		 N 73.952866°
E 67.148437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686508178710938 y=0.188156127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686508178710938 × 215)
    floor (0.686508178710938 × 32768)
    floor (22495.5)     		tx = 22495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188156127929688 × 215)
    floor (0.188156127929688 × 32768)
    floor (6165.5)     		ty = 6165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22495 / 6165 ti = "15/22495/6165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22495/6165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22495 ÷ 215
    22495 ÷ 32768     		x = 0.686492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6165 ÷ 215
    6165 ÷ 32768     		y = 0.188140869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686492919921875 × 2 - 1) × π
    0.37298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17176957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188140869140625 × 2 - 1) × π
    0.62371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.95946870886942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17176957} λ = 1.17176957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95946870886942))-π/2
    2×atan(7.09555625744084)-π/2
    2×1.43078516582261-π/2
    2.86157033164523-1.57079632675     		φ = 1.29077400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17176957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.137451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29077400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.955903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22495 KachelY 6165 1.17176957 1.29077400 67.137451 73.955903
    Oben rechts KachelX + 1 22496 KachelY 6165 1.17196132 1.29077400 67.148437 73.955903
    Unten links KachelX 22495 KachelY + 1 6166 1.17176957 1.29072101 67.137451 73.952866
    Unten rechts KachelX + 1 22496 KachelY + 1 6166 1.17196132 1.29072101 67.148437 73.952866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29077400-1.29072101) × R
    5.29900000001415e-05 × 6371000     		dl = 337.599290000902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29077400-1.29072101) × R
    5.29900000001415e-05 × 6371000     		dr = 337.599290000902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17176957-1.17196132) × cos(1.29077400) × R
    0.000191750000000157 × 0.276377105782888 × 6371000     		do = 337.633120226054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17176957-1.17196132) × cos(1.29072101) × R
    0.000191750000000157 × 0.276428031395547 × 6371000     		du = 337.695332953309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29077400)-sin(1.29072101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276377105782888-0.276428031395547)×R²
    abs(1.17196132-1.17176957)×5.09256126590141e-05×R²
    0.000191750000000157×5.09256126590141e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.09256126590141e-05×40589641000000     		ar = 113995.203182223m²