Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22494 / 39012
↖ ↑ ↗
← S 32.417066°
W 56.436767°		 ← 515.61 m → S 32.417066°
W 56.431274°		 →
↑
515.61 m
↓
↑
515.61 m
↓
S 32.421703°
W 56.436767°		 ← 515.58 m →
265 843 m²		 S 32.421703°
W 56.431274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343238830566406 y=0.595283508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343238830566406 × 216)
    floor (0.343238830566406 × 65536)
    floor (22494.5)     		tx = 22494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595283508300781 × 216)
    floor (0.595283508300781 × 65536)
    floor (39012.5)     		ty = 39012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22494 / 39012 ti = "16/22494/39012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22494/39012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22494 ÷ 216
    22494 ÷ 65536     		x = 0.343231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39012 ÷ 216
    39012 ÷ 65536     		y = 0.59527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343231201171875 × 2 - 1) × π
    -0.31353759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98500741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59527587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1905517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.598636002455261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98500741} λ = -0.98500741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598636002455261))-π/2
    2×atan(0.549560724579471)-π/2
    2×0.502505892770137-π/2
    1.00501178554027-1.57079632675     		φ = -0.56578454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98500741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.436767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56578454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.417066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22494 KachelY 39012 -0.98500741 -0.56578454 -56.436767 -32.417066
    Oben rechts KachelX + 1 22495 KachelY 39012 -0.98491154 -0.56578454 -56.431274 -32.417066
    Unten links KachelX 22494 KachelY + 1 39013 -0.98500741 -0.56586547 -56.436767 -32.421703
    Unten rechts KachelX + 1 22495 KachelY + 1 39013 -0.98491154 -0.56586547 -56.431274 -32.421703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56578454--0.56586547) × R
    8.09299999999791e-05 × 6371000     		dl = 515.605029999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56578454--0.56586547) × R
    8.09299999999791e-05 × 6371000     		dr = 515.605029999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98500741--0.98491154) × cos(-0.56578454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84416828541875 × 6371000     		do = 515.607664555631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98500741--0.98491154) × cos(-0.56586547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844124897840325 × 6371000     		du = 515.581163953359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56578454)-sin(-0.56586547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84416828541875-0.844124897840325)×R²
    abs(-0.98491154--0.98500741)×4.3387578425147e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3387578425147e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3387578425147e-05×40589641000000     		ar = 265843.073574308m²