Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2249 / 6570
↖ ↑ ↗
← S 72.945431°
W 81.166992°		 ← 1 433.12 m → S 72.945431°
W 81.123047°		 →
↑
1 432.58 m
↓
↑
1 432.58 m
↓
S 72.958315°
W 81.166992°		 ← 1 432.07 m →
2 052 314 m²		 S 72.958315°
W 81.123047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27459716796875 y=0.80206298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27459716796875 × 213)
    floor (0.27459716796875 × 8192)
    floor (2249.5)     		tx = 2249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80206298828125 × 213)
    floor (0.80206298828125 × 8192)
    floor (6570.5)     		ty = 6570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2249 / 6570 ti = "13/2249/6570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2249/6570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2249 ÷ 213
    2249 ÷ 8192     		x = 0.2745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6570 ÷ 213
    6570 ÷ 8192     		y = 0.802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41663126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.60400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8975342345603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41663126} λ = -1.41663126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8975342345603))-π/2
    2×atan(0.149937875417269)-π/2
    2×0.148829189517722-π/2
    0.297658379035444-1.57079632675     		φ = -1.27313795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41663126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.166992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27313795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.945431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2249 KachelY 6570 -1.41663126 -1.27313795 -81.166992 -72.945431
    Oben rechts KachelX + 1 2250 KachelY 6570 -1.41586427 -1.27313795 -81.123047 -72.945431
    Unten links KachelX 2249 KachelY + 1 6571 -1.41663126 -1.27336281 -81.166992 -72.958315
    Unten rechts KachelX + 1 2250 KachelY + 1 6571 -1.41586427 -1.27336281 -81.123047 -72.958315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27313795--1.27336281) × R
    0.000224860000000104 × 6371000     		dl = 1432.58306000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27313795--1.27336281) × R
    0.000224860000000104 × 6371000     		dr = 1432.58306000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41663126--1.41586427) × cos(-1.27313795) × R
    0.000766990000000023 × 0.29328236041636 × 6371000     		do = 1433.12228624995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41663126--1.41586427) × cos(-1.27336281) × R
    0.000766990000000023 × 0.293067381027397 × 6371000     		du = 1432.07179090829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27313795)-sin(-1.27336281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29328236041636-0.293067381027397)×R²
    abs(-1.41586427--1.41663126)×0.000214979388962977×R²
    0.000766990000000023×0.000214979388962977×6371000²
    0.000766990000000023×0.000214979388962977×40589641000000     		ar = 2052314.25792214m²