Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2249 / 6557
↖ ↑ ↗
← S 72.777081°
W 81.166992°		 ← 1 446.84 m → S 72.777081°
W 81.123047°		 →
↑
1 446.28 m
↓
↑
1 446.28 m
↓
S 72.790088°
W 81.166992°		 ← 1 445.78 m →
2 091 774 m²		 S 72.790088°
W 81.123047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27459716796875 y=0.80047607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27459716796875 × 213)
    floor (0.27459716796875 × 8192)
    floor (2249.5)     		tx = 2249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80047607421875 × 213)
    floor (0.80047607421875 × 8192)
    floor (6557.5)     		ty = 6557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2249 / 6557 ti = "13/2249/6557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2249/6557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2249 ÷ 213
    2249 ÷ 8192     		x = 0.2745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6557 ÷ 213
    6557 ÷ 8192     		y = 0.8004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41663126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8004150390625 × 2 - 1) × π
    -0.600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88756335943933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41663126} λ = -1.41663126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88756335943933))-π/2
    2×atan(0.151440365370906)-π/2
    2×0.1502983193778-π/2
    0.300596638755601-1.57079632675     		φ = -1.27019969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41663126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.166992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27019969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.777081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2249 KachelY 6557 -1.41663126 -1.27019969 -81.166992 -72.777081
    Oben rechts KachelX + 1 2250 KachelY 6557 -1.41586427 -1.27019969 -81.123047 -72.777081
    Unten links KachelX 2249 KachelY + 1 6558 -1.41663126 -1.27042670 -81.166992 -72.790088
    Unten rechts KachelX + 1 2250 KachelY + 1 6558 -1.41586427 -1.27042670 -81.123047 -72.790088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27019969--1.27042670) × R
    0.000227009999999916 × 6371000     		dl = 1446.28070999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27019969--1.27042670) × R
    0.000227009999999916 × 6371000     		dr = 1446.28070999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41663126--1.41586427) × cos(-1.27019969) × R
    0.000766990000000023 × 0.296090142929472 × 6371000     		do = 1446.84249666005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41663126--1.41586427) × cos(-1.27042670) × R
    0.000766990000000023 × 0.295873304430251 × 6371000     		du = 1445.78291678859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27019969)-sin(-1.27042670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296090142929472-0.295873304430251)×R²
    abs(-1.41586427--1.41663126)×0.000216838499221439×R²
    0.000766990000000023×0.000216838499221439×6371000²
    0.000766990000000023×0.000216838499221439×40589641000000     		ar = 2091774.1773449m²