Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22487 / 39077
↖ ↑ ↗
← S 32.717977°
W 56.475220°		 ← 513.88 m → S 32.717977°
W 56.469727°		 →
↑
513.95 m
↓
↑
513.95 m
↓
S 32.722599°
W 56.475220°		 ← 513.85 m →
264 102 m²		 S 32.722599°
W 56.469727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343132019042969 y=0.596275329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343132019042969 × 216)
    floor (0.343132019042969 × 65536)
    floor (22487.5)     		tx = 22487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596275329589844 × 216)
    floor (0.596275329589844 × 65536)
    floor (39077.5)     		ty = 39077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22487 / 39077 ti = "16/22487/39077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22487/39077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22487 ÷ 216
    22487 ÷ 65536     		x = 0.343124389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39077 ÷ 216
    39077 ÷ 65536     		y = 0.596267700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343124389648438 × 2 - 1) × π
    -0.313751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98567853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596267700195312 × 2 - 1) × π
    -0.192535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.604867799405869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98567853} λ = -0.98567853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604867799405869))-π/2
    2×atan(0.546146622775432)-π/2
    2×0.499879950925501-π/2
    0.999759901851001-1.57079632675     		φ = -0.57103642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98567853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.475220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57103642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.717977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22487 KachelY 39077 -0.98567853 -0.57103642 -56.475220 -32.717977
    Oben rechts KachelX + 1 22488 KachelY 39077 -0.98558266 -0.57103642 -56.469727 -32.717977
    Unten links KachelX 22487 KachelY + 1 39078 -0.98567853 -0.57111709 -56.475220 -32.722599
    Unten rechts KachelX + 1 22488 KachelY + 1 39078 -0.98558266 -0.57111709 -56.469727 -32.722599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57103642--0.57111709) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dl = 513.948570000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57103642--0.57111709) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dr = 513.948570000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98567853--0.98558266) × cos(-0.57103642) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.841341237643611 × 6371000     		do = 513.88093834937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98567853--0.98558266) × cos(-0.57111709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.841297632422445 × 6371000     		du = 513.854304813574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57103642)-sin(-0.57111709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841341237643611-0.841297632422445)×R²
    abs(-0.98558266--0.98567853)×4.36052211657545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36052211657545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36052211657545e-05×40589641000000     		ar = 264101.529424357m²