Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22486 / 39032
↖ ↑ ↗
← S 32.509762°
W 56.480713°		 ← 515.08 m → S 32.509762°
W 56.475220°		 →
↑
515.10 m
↓
↑
515.10 m
↓
S 32.514394°
W 56.480713°		 ← 515.05 m →
265 307 m²		 S 32.514394°
W 56.475220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343116760253906 y=0.595588684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343116760253906 × 216)
    floor (0.343116760253906 × 65536)
    floor (22486.5)     		tx = 22486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595588684082031 × 216)
    floor (0.595588684082031 × 65536)
    floor (39032.5)     		ty = 39032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22486 / 39032 ti = "16/22486/39032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22486/39032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22486 ÷ 216
    22486 ÷ 65536     		x = 0.343109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39032 ÷ 216
    39032 ÷ 65536     		y = 0.5955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.31378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98577440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.600553478440063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98577440} λ = -0.98577440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.600553478440063))-π/2
    2×atan(0.548507964731321)-π/2
    2×0.501696972739355-π/2
    1.00339394547871-1.57079632675     		φ = -0.56740238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98577440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56740238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.509762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22486 KachelY 39032 -0.98577440 -0.56740238 -56.480713 -32.509762
    Oben rechts KachelX + 1 22487 KachelY 39032 -0.98567853 -0.56740238 -56.475220 -32.509762
    Unten links KachelX 22486 KachelY + 1 39033 -0.98577440 -0.56748323 -56.480713 -32.514394
    Unten rechts KachelX + 1 22487 KachelY + 1 39033 -0.98567853 -0.56748323 -56.475220 -32.514394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56740238--0.56748323) × R
    8.08500000000212e-05 × 6371000     		dl = 515.095350000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56740238--0.56748323) × R
    8.08500000000212e-05 × 6371000     		dr = 515.095350000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98577440--0.98567853) × cos(-0.56740238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.843299892171876 × 6371000     		do = 515.07726058089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98577440--0.98567853) × cos(-0.56748323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.843256437125576 × 6371000     		du = 515.050718770064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56740238)-sin(-0.56748323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843299892171876-0.843256437125576)×R²
    abs(-0.98567853--0.98577440)×4.34550463005445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34550463005445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34550463005445e-05×40589641000000     		ar = 265307.066178665m²