Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22485 / 6139
↖ ↑ ↗
← N 74.034660°
E 67.027588°		 ← 336.02 m → N 74.034660°
E 67.038574°		 →
↑
336.07 m
↓
↑
336.07 m
↓
N 74.031637°
E 67.027588°		 ← 336.08 m →
112 936 m²		 N 74.031637°
E 67.038574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686203002929688 y=0.187362670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686203002929688 × 215)
    floor (0.686203002929688 × 32768)
    floor (22485.5)     		tx = 22485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187362670898438 × 215)
    floor (0.187362670898438 × 32768)
    floor (6139.5)     		ty = 6139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22485 / 6139 ti = "15/22485/6139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22485/6139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22485 ÷ 215
    22485 ÷ 32768     		x = 0.686187744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6139 ÷ 215
    6139 ÷ 32768     		y = 0.187347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686187744140625 × 2 - 1) × π
    0.37237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16985210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187347412109375 × 2 - 1) × π
    0.62530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9644541464299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16985210} λ = 1.16985210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9644541464299))-π/2
    2×atan(7.13101903540082)-π/2
    2×1.43147244820977-π/2
    2.86294489641954-1.57079632675     		φ = 1.29214857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16985210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.027588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29214857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.034660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22485 KachelY 6139 1.16985210 1.29214857 67.027588 74.034660
    Oben rechts KachelX + 1 22486 KachelY 6139 1.17004385 1.29214857 67.038574 74.034660
    Unten links KachelX 22485 KachelY + 1 6140 1.16985210 1.29209582 67.027588 74.031637
    Unten rechts KachelX + 1 22486 KachelY + 1 6140 1.17004385 1.29209582 67.038574 74.031637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29214857-1.29209582) × R
    5.27500000000458e-05 × 6371000     		dl = 336.070250000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29214857-1.29209582) × R
    5.27500000000458e-05 × 6371000     		dr = 336.070250000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16985210-1.17004385) × cos(1.29214857) × R
    0.000191750000000157 × 0.275055815607354 × 6371000     		do = 336.018980286982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16985210-1.17004385) × cos(1.29209582) × R
    0.000191750000000157 × 0.275106530565343 × 6371000     		du = 336.080935670223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29214857)-sin(1.29209582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275055815607354-0.275106530565343)×R²
    abs(1.17004385-1.16985210)×5.07149579888622e-05×R²
    0.000191750000000157×5.07149579888622e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.07149579888622e-05×40589641000000     		ar = 112936.393416128m²