Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22484 / 6135
↖ ↑ ↗
← N 74.046743°
E 67.016602°		 ← 335.77 m → N 74.046743°
E 67.027588°		 →
↑
335.82 m
↓
↑
335.82 m
↓
N 74.043723°
E 67.016602°		 ← 335.83 m →
112 768 m²		 N 74.043723°
E 67.027588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686172485351562 y=0.187240600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686172485351562 × 215)
    floor (0.686172485351562 × 32768)
    floor (22484.5)     		tx = 22484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187240600585938 × 215)
    floor (0.187240600585938 × 32768)
    floor (6135.5)     		ty = 6135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22484 / 6135 ti = "15/22484/6135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22484/6135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22484 ÷ 215
    22484 ÷ 32768     		x = 0.6861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6135 ÷ 215
    6135 ÷ 32768     		y = 0.187225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6861572265625 × 2 - 1) × π
    0.372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16966035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187225341796875 × 2 - 1) × π
    0.62554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96522113682382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16966035} λ = 1.16966035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96522113682382))-π/2
    2×atan(7.13649055653368)-π/2
    2×1.43157789191111-π/2
    2.86315578382222-1.57079632675     		φ = 1.29235946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16966035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29235946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.046743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22484 KachelY 6135 1.16966035 1.29235946 67.016602 74.046743
    Oben rechts KachelX + 1 22485 KachelY 6135 1.16985210 1.29235946 67.027588 74.046743
    Unten links KachelX 22484 KachelY + 1 6136 1.16966035 1.29230675 67.016602 74.043723
    Unten rechts KachelX + 1 22485 KachelY + 1 6136 1.16985210 1.29230675 67.027588 74.043723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29235946-1.29230675) × R
    5.27099999998448e-05 × 6371000     		dl = 335.815409999011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29235946-1.29230675) × R
    5.27099999998448e-05 × 6371000     		dr = 335.815409999011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16966035-1.16985210) × cos(1.29235946) × R
    0.000191749999999935 × 0.274853053886699 × 6371000     		do = 335.771278610242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16966035-1.16985210) × cos(1.29230675) × R
    0.000191749999999935 × 0.274903733444816 × 6371000     		du = 335.833190747611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29235946)-sin(1.29230675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274853053886699-0.274903733444816)×R²
    abs(1.16985210-1.16966035)×5.06795581169395e-05×R²
    0.000191749999999935×5.06795581169395e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.06795581169395e-05×40589641000000     		ar = 112767.565143459m²