Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22481 / 6135
↖ ↑ ↗
← N 74.046743°
E 66.983643°		 ← 335.77 m → N 74.046743°
E 66.994629°		 →
↑
335.82 m
↓
↑
335.82 m
↓
N 74.043723°
E 66.983643°		 ← 335.83 m →
112 768 m²		 N 74.043723°
E 66.994629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686080932617188 y=0.187240600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686080932617188 × 215)
    floor (0.686080932617188 × 32768)
    floor (22481.5)     		tx = 22481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187240600585938 × 215)
    floor (0.187240600585938 × 32768)
    floor (6135.5)     		ty = 6135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22481 / 6135 ti = "15/22481/6135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22481/6135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22481 ÷ 215
    22481 ÷ 32768     		x = 0.686065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6135 ÷ 215
    6135 ÷ 32768     		y = 0.187225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686065673828125 × 2 - 1) × π
    0.37213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.16908511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187225341796875 × 2 - 1) × π
    0.62554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96522113682382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16908511} λ = 1.16908511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96522113682382))-π/2
    2×atan(7.13649055653368)-π/2
    2×1.43157789191111-π/2
    2.86315578382222-1.57079632675     		φ = 1.29235946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16908511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.983643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29235946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.046743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22481 KachelY 6135 1.16908511 1.29235946 66.983643 74.046743
    Oben rechts KachelX + 1 22482 KachelY 6135 1.16927686 1.29235946 66.994629 74.046743
    Unten links KachelX 22481 KachelY + 1 6136 1.16908511 1.29230675 66.983643 74.043723
    Unten rechts KachelX + 1 22482 KachelY + 1 6136 1.16927686 1.29230675 66.994629 74.043723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29235946-1.29230675) × R
    5.27099999998448e-05 × 6371000     		dl = 335.815409999011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29235946-1.29230675) × R
    5.27099999998448e-05 × 6371000     		dr = 335.815409999011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16908511-1.16927686) × cos(1.29235946) × R
    0.000191750000000157 × 0.274853053886699 × 6371000     		do = 335.771278610631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16908511-1.16927686) × cos(1.29230675) × R
    0.000191750000000157 × 0.274903733444816 × 6371000     		du = 335.833190748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29235946)-sin(1.29230675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274853053886699-0.274903733444816)×R²
    abs(1.16927686-1.16908511)×5.06795581169395e-05×R²
    0.000191750000000157×5.06795581169395e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.06795581169395e-05×40589641000000     		ar = 112767.56514359m²