Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22480 / 39081
↖ ↑ ↗
← S 32.736462°
W 56.513672°		 ← 513.83 m → S 32.736462°
W 56.508179°		 →
↑
513.82 m
↓
↑
513.82 m
↓
S 32.741082°
W 56.513672°		 ← 513.80 m →
264 009 m²		 S 32.741082°
W 56.508179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343025207519531 y=0.596336364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343025207519531 × 216)
    floor (0.343025207519531 × 65536)
    floor (22480.5)     		tx = 22480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596336364746094 × 216)
    floor (0.596336364746094 × 65536)
    floor (39081.5)     		ty = 39081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22480 / 39081 ti = "16/22480/39081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22480/39081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22480 ÷ 216
    22480 ÷ 65536     		x = 0.343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39081 ÷ 216
    39081 ÷ 65536     		y = 0.596328735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.31396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98634965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596328735351562 × 2 - 1) × π
    -0.192657470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.605251294602829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98634965} λ = -0.98634965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605251294602829))-π/2
    2×atan(0.545937218324129)-π/2
    2×0.499718642485641-π/2
    0.999437284971282-1.57079632675     		φ = -0.57135904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98634965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57135904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.736462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22480 KachelY 39081 -0.98634965 -0.57135904 -56.513672 -32.736462
    Oben rechts KachelX + 1 22481 KachelY 39081 -0.98625377 -0.57135904 -56.508179 -32.736462
    Unten links KachelX 22480 KachelY + 1 39082 -0.98634965 -0.57143969 -56.513672 -32.741082
    Unten rechts KachelX + 1 22481 KachelY + 1 39082 -0.98625377 -0.57143969 -56.508179 -32.741082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57135904--0.57143969) × R
    8.06499999999044e-05 × 6371000     		dl = 513.821149999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57135904--0.57143969) × R
    8.06499999999044e-05 × 6371000     		dr = 513.821149999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98634965--0.98625377) × cos(-0.57135904) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.841166816357411 × 6371000     		do = 513.827994698476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98634965--0.98625377) × cos(-0.57143969) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.841123200059413 × 6371000     		du = 513.801351618291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57135904)-sin(-0.57143969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841166816357411-0.841123200059413)×R²
    abs(-0.98625377--0.98634965)×4.36162979983168e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.36162979983168e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.36162979983168e-05×40589641000000     		ar = 264008.846391998m²