Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2248 / 6559
↖ ↑ ↗
← S 72.803086°
W 81.210938°		 ← 1 444.72 m → S 72.803086°
W 81.166992°		 →
↑
1 444.18 m
↓
↑
1 444.18 m
↓
S 72.816073°
W 81.210938°		 ← 1 443.67 m →
2 085 675 m²		 S 72.816073°
W 81.166992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27447509765625 y=0.80072021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27447509765625 × 213)
    floor (0.27447509765625 × 8192)
    floor (2248.5)     		tx = 2248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80072021484375 × 213)
    floor (0.80072021484375 × 8192)
    floor (6559.5)     		ty = 6559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2248 / 6559 ti = "13/2248/6559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2248/6559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2248 ÷ 213
    2248 ÷ 8192     		x = 0.2744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6559 ÷ 213
    6559 ÷ 8192     		y = 0.8006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41739825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8006591796875 × 2 - 1) × π
    -0.601318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88909734022717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41739825} λ = -1.41739825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88909734022717))-π/2
    2×atan(0.15120823684579)-π/2
    2×0.150071387379452-π/2
    0.300142774758904-1.57079632675     		φ = -1.27065355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41739825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.210938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27065355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.803086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2248 KachelY 6559 -1.41739825 -1.27065355 -81.210938 -72.803086
    Oben rechts KachelX + 1 2249 KachelY 6559 -1.41663126 -1.27065355 -81.166992 -72.803086
    Unten links KachelX 2248 KachelY + 1 6560 -1.41739825 -1.27088023 -81.210938 -72.816073
    Unten rechts KachelX + 1 2249 KachelY + 1 6560 -1.41663126 -1.27088023 -81.166992 -72.816073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27065355--1.27088023) × R
    0.000226679999999924 × 6371000     		dl = 1444.17827999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27065355--1.27088023) × R
    0.000226679999999924 × 6371000     		dr = 1444.17827999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41739825--1.41663126) × cos(-1.27065355) × R
    0.000766990000000023 × 0.29565660353072 × 6371000     		do = 1444.7240092971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41739825--1.41663126) × cos(-1.27088023) × R
    0.000766990000000023 × 0.29544004982785 × 6371000     		du = 1443.6658210811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27065355)-sin(-1.27088023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29565660353072-0.29544004982785)×R²
    abs(-1.41663126--1.41739825)×0.000216553702870159×R²
    0.000766990000000023×0.000216553702870159×6371000²
    0.000766990000000023×0.000216553702870159×40589641000000     		ar = 2085674.93753309m²