Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2248 / 2297
↖ ↑ ↗
← S 21.371244°
E 17.578125°		 ← 9 100.98 m → S 21.371244°
E 17.666016°		 →
↑
9 098.43 m
↓
↑
9 098.43 m
↓
S 21.453069°
E 17.578125°		 ← 9 095.89 m →
82 781 461 m²		 S 21.453069°
E 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5489501953125 y=0.5609130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5489501953125 × 212)
    floor (0.5489501953125 × 4096)
    floor (2248.5)     		tx = 2248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5609130859375 × 212)
    floor (0.5609130859375 × 4096)
    floor (2297.5)     		ty = 2297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2248 / 2297 ti = "12/2248/2297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2248/2297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2248 ÷ 212
    2248 ÷ 4096     		x = 0.548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2297 ÷ 212
    2297 ÷ 4096     		y = 0.560791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548828125 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.12158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.381961216172607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30679616} λ = 0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.381961216172607))-π/2
    2×atan(0.682521523489036)-π/2
    2×0.598898873644735-π/2
    1.19779774728947-1.57079632675     		φ = -0.37299858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37299858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.371244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2248 KachelY 2297 0.30679616 -0.37299858 17.578125 -21.371244
    Oben rechts KachelX + 1 2249 KachelY 2297 0.30833014 -0.37299858 17.666016 -21.371244
    Unten links KachelX 2248 KachelY + 1 2298 0.30679616 -0.37442668 17.578125 -21.453069
    Unten rechts KachelX + 1 2249 KachelY + 1 2298 0.30833014 -0.37442668 17.666016 -21.453069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37299858--0.37442668) × R
    0.00142809999999999 × 6371000     		dl = 9098.42509999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37299858--0.37442668) × R
    0.00142809999999999 × 6371000     		dr = 9098.42509999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30679616-0.30833014) × cos(-0.37299858) × R
    0.00153397999999999 × 0.931238822929872 × 6371000     		do = 9100.98451926858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30679616-0.30833014) × cos(-0.37442668) × R
    0.00153397999999999 × 0.930717460340206 × 6371000     		du = 9095.88924967646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37299858)-sin(-0.37442668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931238822929872-0.930717460340206)×R²
    abs(0.30833014-0.30679616)×0.00052136258966573×R²
    0.00153397999999999×0.00052136258966573×6371000²
    0.00153397999999999×0.00052136258966573×40589641000000     		ar = 82781460.5896392m²