Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22479 / 6141
↖ ↑ ↗
← N 74.028615°
E 66.961670°		 ← 336.14 m → N 74.028615°
E 66.972656°		 →
↑
336.20 m
↓
↑
336.20 m
↓
N 74.025591°
E 66.961670°		 ← 336.20 m →
113 021 m²		 N 74.025591°
E 66.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686019897460938 y=0.187423706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686019897460938 × 215)
    floor (0.686019897460938 × 32768)
    floor (22479.5)     		tx = 22479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187423706054688 × 215)
    floor (0.187423706054688 × 32768)
    floor (6141.5)     		ty = 6141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22479 / 6141 ti = "15/22479/6141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22479/6141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22479 ÷ 215
    22479 ÷ 32768     		x = 0.686004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6141 ÷ 215
    6141 ÷ 32768     		y = 0.187408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686004638671875 × 2 - 1) × π
    0.37200927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.16870161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187408447265625 × 2 - 1) × π
    0.62518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96407065123294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16870161} λ = 1.16870161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96407065123294))-π/2
    2×atan(7.12828484815865)-π/2
    2×1.43141969719357-π/2
    2.86283939438715-1.57079632675     		φ = 1.29204307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16870161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.961670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29204307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.028615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22479 KachelY 6141 1.16870161 1.29204307 66.961670 74.028615
    Oben rechts KachelX + 1 22480 KachelY 6141 1.16889336 1.29204307 66.972656 74.028615
    Unten links KachelX 22479 KachelY + 1 6142 1.16870161 1.29199030 66.961670 74.025591
    Unten rechts KachelX + 1 22480 KachelY + 1 6142 1.16889336 1.29199030 66.972656 74.025591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29204307-1.29199030) × R
    5.27700000001463e-05 × 6371000     		dl = 336.197670000932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29204307-1.29199030) × R
    5.27700000001463e-05 × 6371000     		dr = 336.197670000932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16870161-1.16889336) × cos(1.29204307) × R
    0.000191749999999935 × 0.275157244757831 × 6371000     		do = 336.142890117909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16870161-1.16889336) × cos(1.29199030) × R
    0.000191749999999935 × 0.275207977412371 × 6371000     		du = 336.204867119951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29204307)-sin(1.29199030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275157244757831-0.275207977412371)×R²
    abs(1.16889336-1.16870161)×5.07326545399756e-05×R²
    0.000191749999999935×5.07326545399756e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.07326545399756e-05×40589641000000     		ar = 113020.874733819m²