Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22477 / 6133
↖ ↑ ↗
← N 74.052781°
E 66.939697°		 ← 335.65 m → N 74.052781°
E 66.950684°		 →
↑
335.69 m
↓
↑
335.69 m
↓
N 74.049762°
E 66.939697°		 ← 335.71 m →
112 683 m²		 N 74.049762°
E 66.950684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685958862304688 y=0.187179565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685958862304688 × 215)
    floor (0.685958862304688 × 32768)
    floor (22477.5)     		tx = 22477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187179565429688 × 215)
    floor (0.187179565429688 × 32768)
    floor (6133.5)     		ty = 6133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22477 / 6133 ti = "15/22477/6133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22477/6133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22477 ÷ 215
    22477 ÷ 32768     		x = 0.685943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6133 ÷ 215
    6133 ÷ 32768     		y = 0.187164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.685943603515625 × 2 - 1) × π
    0.37188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16831812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187164306640625 × 2 - 1) × π
    0.62567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96560463202078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16831812} λ = 1.16831812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96560463202078))-π/2
    2×atan(7.13922789122907)-π/2
    2×1.43163058460941-π/2
    2.86326116921883-1.57079632675     		φ = 1.29246484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16831812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29246484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.052781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22477 KachelY 6133 1.16831812 1.29246484 66.939697 74.052781
    Oben rechts KachelX + 1 22478 KachelY 6133 1.16850987 1.29246484 66.950684 74.052781
    Unten links KachelX 22477 KachelY + 1 6134 1.16831812 1.29241215 66.939697 74.049762
    Unten rechts KachelX + 1 22478 KachelY + 1 6134 1.16850987 1.29241215 66.950684 74.049762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29246484-1.29241215) × R
    5.26899999999664e-05 × 6371000     		dl = 335.687989999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29246484-1.29241215) × R
    5.26899999999664e-05 × 6371000     		dr = 335.687989999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16831812-1.16850987) × cos(1.29246484) × R
    0.000191750000000157 × 0.274751730940304 × 6371000     		do = 335.64749852239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16831812-1.16850987) × cos(1.29241215) × R
    0.000191750000000157 × 0.27480239279496 × 6371000     		du = 335.709389032515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29246484)-sin(1.29241215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274751730940304-0.27480239279496)×R²
    abs(1.16850987-1.16831812)×5.06618546551874e-05×R²
    0.000191750000000157×5.06618546551874e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.06618546551874e-05×40589641000000     		ar = 112683.222104082m²