Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22470 / 47558
↖ ↑ ↗
← S 62.769811°
W 56.568603°		 ← 279.48 m → S 62.769811°
W 56.563110°		 →
↑
279.43 m
↓
↑
279.43 m
↓
S 62.772324°
W 56.568603°		 ← 279.45 m →
78 091 m²		 S 62.772324°
W 56.563110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342872619628906 y=0.725685119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342872619628906 × 216)
    floor (0.342872619628906 × 65536)
    floor (22470.5)     		tx = 22470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725685119628906 × 216)
    floor (0.725685119628906 × 65536)
    floor (47558.5)     		ty = 47558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22470 / 47558 ti = "16/22470/47558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22470/47558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22470 ÷ 216
    22470 ÷ 65536     		x = 0.342864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47558 ÷ 216
    47558 ÷ 65536     		y = 0.725677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.31427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98730838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.45135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41797349076126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98730838} λ = -0.98730838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41797349076126))-π/2
    2×atan(0.242204349249126)-π/2
    2×0.237628229520333-π/2
    0.475256459040666-1.57079632675     		φ = -1.09553987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98730838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.568603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09553987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.769811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22470 KachelY 47558 -0.98730838 -1.09553987 -56.568603 -62.769811
    Oben rechts KachelX + 1 22471 KachelY 47558 -0.98721251 -1.09553987 -56.563110 -62.769811
    Unten links KachelX 22470 KachelY + 1 47559 -0.98730838 -1.09558373 -56.568603 -62.772324
    Unten rechts KachelX + 1 22471 KachelY + 1 47559 -0.98721251 -1.09558373 -56.563110 -62.772324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09553987--1.09558373) × R
    4.38599999998956e-05 × 6371000     		dl = 279.432059999335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09553987--1.09558373) × R
    4.38599999998956e-05 × 6371000     		dr = 279.432059999335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98730838--0.98721251) × cos(-1.09553987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.457566497297973 × 6371000     		do = 279.476020511334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98730838--0.98721251) × cos(-1.09558373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45752749762462 × 6371000     		du = 279.452199987816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09553987)-sin(-1.09558373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457566497297973-0.45752749762462)×R²
    abs(-0.98721251--0.98730838)×3.89996733533571e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89996733533571e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89996733533571e-05×40589641000000     		ar = 78091.2320354495m²