Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2247 / 6532
↖ ↑ ↗
← S 72.448791°
W 81.254883°		 ← 1 473.56 m → S 72.448791°
W 81.210938°		 →
↑
1 473.04 m
↓
↑
1 473.04 m
↓
S 72.462039°
W 81.254883°		 ← 1 472.48 m →
2 169 820 m²		 S 72.462039°
W 81.210938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27435302734375 y=0.79742431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27435302734375 × 213)
    floor (0.27435302734375 × 8192)
    floor (2247.5)     		tx = 2247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79742431640625 × 213)
    floor (0.79742431640625 × 8192)
    floor (6532.5)     		ty = 6532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2247 / 6532 ti = "13/2247/6532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2247/6532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2247 ÷ 213
    2247 ÷ 8192     		x = 0.2742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6532 ÷ 213
    6532 ÷ 8192     		y = 0.79736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41816524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79736328125 × 2 - 1) × π
    -0.5947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86838859959131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41816524} λ = -1.41816524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86838859959131))-π/2
    2×atan(0.154372216953912)-π/2
    2×0.153163187522464-π/2
    0.306326375044928-1.57079632675     		φ = -1.26446995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41816524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.254883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26446995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.448791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2247 KachelY 6532 -1.41816524 -1.26446995 -81.254883 -72.448791
    Oben rechts KachelX + 1 2248 KachelY 6532 -1.41739825 -1.26446995 -81.210938 -72.448791
    Unten links KachelX 2247 KachelY + 1 6533 -1.41816524 -1.26470116 -81.254883 -72.462039
    Unten rechts KachelX + 1 2248 KachelY + 1 6533 -1.41739825 -1.26470116 -81.210938 -72.462039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26446995--1.26470116) × R
    0.000231209999999926 × 6371000     		dl = 1473.03890999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26446995--1.26470116) × R
    0.000231209999999926 × 6371000     		dr = 1473.03890999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41816524--1.41739825) × cos(-1.26446995) × R
    0.000766990000000023 × 0.30155807115291 × 6371000     		do = 1473.56149123408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41816524--1.41739825) × cos(-1.26470116) × R
    0.000766990000000023 × 0.301337616425965 × 6371000     		du = 1472.48424069012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26446995)-sin(-1.26470116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30155807115291-0.301337616425965)×R²
    abs(-1.41739825--1.41816524)×0.000220454726944819×R²
    0.000766990000000023×0.000220454726944819×6371000²
    0.000766990000000023×0.000220454726944819×40589641000000     		ar = 2169820.00654906m²