Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2247 / 6530
↖ ↑ ↗
← S 72.422268°
W 81.254883°		 ← 1 475.72 m → S 72.422268°
W 81.210938°		 →
↑
1 475.14 m
↓
↑
1 475.14 m
↓
S 72.435534°
W 81.254883°		 ← 1 474.64 m →
2 176 097 m²		 S 72.435534°
W 81.210938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27435302734375 y=0.79718017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27435302734375 × 213)
    floor (0.27435302734375 × 8192)
    floor (2247.5)     		tx = 2247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79718017578125 × 213)
    floor (0.79718017578125 × 8192)
    floor (6530.5)     		ty = 6530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2247 / 6530 ti = "13/2247/6530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2247/6530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2247 ÷ 213
    2247 ÷ 8192     		x = 0.2742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6530 ÷ 213
    6530 ÷ 8192     		y = 0.797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41816524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797119140625 × 2 - 1) × π
    -0.59423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86685461880347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41816524} λ = -1.41816524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86685461880347))-π/2
    2×atan(0.154609202688207)-π/2
    2×0.153394648879741-π/2
    0.306789297759482-1.57079632675     		φ = -1.26400703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41816524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.254883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26400703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.422268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2247 KachelY 6530 -1.41816524 -1.26400703 -81.254883 -72.422268
    Oben rechts KachelX + 1 2248 KachelY 6530 -1.41739825 -1.26400703 -81.210938 -72.422268
    Unten links KachelX 2247 KachelY + 1 6531 -1.41816524 -1.26423857 -81.254883 -72.435534
    Unten rechts KachelX + 1 2248 KachelY + 1 6531 -1.41739825 -1.26423857 -81.210938 -72.435534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26400703--1.26423857) × R
    0.000231540000000141 × 6371000     		dl = 1475.1413400009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26400703--1.26423857) × R
    0.000231540000000141 × 6371000     		dr = 1475.1413400009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41816524--1.41739825) × cos(-1.26400703) × R
    0.000766990000000023 × 0.301999408886977 × 6371000     		do = 1475.71808511023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41816524--1.41739825) × cos(-1.26423857) × R
    0.000766990000000023 × 0.30177867183341 × 6371000     		du = 1474.63945497912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26400703)-sin(-1.26423857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301999408886977-0.30177867183341)×R²
    abs(-1.41739825--1.41816524)×0.000220737053567122×R²
    0.000766990000000023×0.000220737053567122×6371000²
    0.000766990000000023×0.000220737053567122×40589641000000     		ar = 2176097.19730466m²