Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2247 / 1599
↖ ↑ ↗
← N 80.876312°
W130.627442°		 ← 387.42 m → N 80.876312°
W130.605469°		 →
↑
387.48 m
↓
↑
387.48 m
↓
N 80.872827°
W130.627442°		 ← 387.57 m →
150 148 m²		 N 80.872827°
W130.605469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137176513671875 y=0.097625732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137176513671875 × 214)
    floor (0.137176513671875 × 16384)
    floor (2247.5)     		tx = 2247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097625732421875 × 214)
    floor (0.097625732421875 × 16384)
    floor (1599.5)     		ty = 1599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2247 / 1599 ti = "14/2247/1599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2247/1599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2247 ÷ 214
    2247 ÷ 16384     		x = 0.13714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1599 ÷ 214
    1599 ÷ 16384     		y = 0.09759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.7257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27987895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09759521484375 × 2 - 1) × π
    0.8048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52838383356024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27987895} λ = -2.27987895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52838383356024))-π/2
    2×atan(12.5332339673613)-π/2
    2×1.49117712900243-π/2
    2.98235425800485-1.57079632675     		φ = 1.41155793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27987895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.627442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41155793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.876312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2247 KachelY 1599 -2.27987895 1.41155793 -130.627442 80.876312
    Oben rechts KachelX + 1 2248 KachelY 1599 -2.27949545 1.41155793 -130.605469 80.876312
    Unten links KachelX 2247 KachelY + 1 1600 -2.27987895 1.41149711 -130.627442 80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 2248 KachelY + 1 1600 -2.27949545 1.41149711 -130.605469 80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41155793-1.41149711) × R
    6.08200000000725e-05 × 6371000     		dl = 387.484220000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41155793-1.41149711) × R
    6.08200000000725e-05 × 6371000     		dr = 387.484220000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27987895--2.27949545) × cos(1.41155793) × R
    0.00038349999999987 × 0.158566285018328 × 6371000     		do = 387.421595010022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27987895--2.27949545) × cos(1.41149711) × R
    0.00038349999999987 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 387.568314451719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41155793)-sin(1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158566285018328-0.15862633525071)×R²
    abs(-2.27949545--2.27987895)×6.00502323814256e-05×R²
    0.00038349999999987×6.00502323814256e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.00502323814256e-05×40589641000000     		ar = 150148.180335549m²