Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22466 / 39074
↖ ↑ ↗
← S 32.704111°
W 56.590576°		 ← 513.96 m → S 32.704111°
W 56.585083°		 →
↑
513.95 m
↓
↑
513.95 m
↓
S 32.708733°
W 56.590576°		 ← 513.93 m →
264 143 m²		 S 32.708733°
W 56.585083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342811584472656 y=0.596229553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342811584472656 × 216)
    floor (0.342811584472656 × 65536)
    floor (22466.5)     		tx = 22466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596229553222656 × 216)
    floor (0.596229553222656 × 65536)
    floor (39074.5)     		ty = 39074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22466 / 39074 ti = "16/22466/39074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22466/39074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22466 ÷ 216
    22466 ÷ 65536     		x = 0.342803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39074 ÷ 216
    39074 ÷ 65536     		y = 0.596221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.31439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98769188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.19244384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.604580178008148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98769188} λ = -0.98769188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604580178008148))-π/2
    2×atan(0.546303728822882)-π/2
    2×0.500000954200679-π/2
    1.00000190840136-1.57079632675     		φ = -0.57079442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98769188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.590576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57079442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.704111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22466 KachelY 39074 -0.98769188 -0.57079442 -56.590576 -32.704111
    Oben rechts KachelX + 1 22467 KachelY 39074 -0.98759601 -0.57079442 -56.585083 -32.704111
    Unten links KachelX 22466 KachelY + 1 39075 -0.98769188 -0.57087509 -56.590576 -32.708733
    Unten rechts KachelX + 1 22467 KachelY + 1 39075 -0.98759601 -0.57087509 -56.585083 -32.708733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57079442--0.57087509) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dl = 513.948570000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57079442--0.57087509) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dr = 513.948570000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98769188--0.98759601) × cos(-0.57079442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.841472015052046 × 6371000     		do = 513.960815591034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98769188--0.98759601) × cos(-0.57087509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.841428426256513 × 6371000     		du = 513.934192087814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57079442)-sin(-0.57087509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841472015052046-0.841428426256513)×R²
    abs(-0.98759601--0.98769188)×4.35887955331227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35887955331227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35887955331227e-05×40589641000000     		ar = 264142.584796962m²