Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22465 / 47391
↖ ↑ ↗
← S 62.347060°
W 56.596069°		 ← 283.48 m → S 62.347060°
W 56.590576°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
S 62.349609°
W 56.596069°		 ← 283.45 m →
80 365 m²		 S 62.349609°
W 56.590576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342796325683594 y=0.723136901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342796325683594 × 216)
    floor (0.342796325683594 × 65536)
    floor (22465.5)     		tx = 22465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723136901855469 × 216)
    floor (0.723136901855469 × 65536)
    floor (47391.5)     		ty = 47391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22465 / 47391 ti = "16/22465/47391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22465/47391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22465 ÷ 216
    22465 ÷ 65536     		x = 0.342788696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47391 ÷ 216
    47391 ÷ 65536     		y = 0.723129272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342788696289062 × 2 - 1) × π
    -0.314422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98778775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723129272460938 × 2 - 1) × π
    -0.446258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40196256628816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98778775} λ = -0.98778775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40196256628816))-π/2
    2×atan(0.246113475647511)-π/2
    2×0.241317426083698-π/2
    0.482634852167396-1.57079632675     		φ = -1.08816147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98778775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.596069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08816147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.347060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22465 KachelY 47391 -0.98778775 -1.08816147 -56.596069 -62.347060
    Oben rechts KachelX + 1 22466 KachelY 47391 -0.98769188 -1.08816147 -56.590576 -62.347060
    Unten links KachelX 22465 KachelY + 1 47392 -0.98778775 -1.08820597 -56.596069 -62.349609
    Unten rechts KachelX + 1 22466 KachelY + 1 47392 -0.98769188 -1.08820597 -56.590576 -62.349609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08816147--1.08820597) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08816147--1.08820597) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98778775--0.98769188) × cos(-1.08816147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464114674493409 × 6371000     		do = 283.475567058099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98778775--0.98769188) × cos(-1.08820597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464075257040907 × 6371000     		du = 283.451491360186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08816147)-sin(-1.08820597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464114674493409-0.464075257040907)×R²
    abs(-0.98769188--0.98778775)×3.94174525019109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94174525019109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94174525019109e-05×40589641000000     		ar = 80364.603447919m²