Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22465 / 47387
↖ ↑ ↗
← S 62.336860°
W 56.596069°		 ← 283.57 m → S 62.336860°
W 56.590576°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
S 62.339411°
W 56.596069°		 ← 283.55 m →
80 410 m²		 S 62.339411°
W 56.590576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342796325683594 y=0.723075866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342796325683594 × 216)
    floor (0.342796325683594 × 65536)
    floor (22465.5)     		tx = 22465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723075866699219 × 216)
    floor (0.723075866699219 × 65536)
    floor (47387.5)     		ty = 47387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22465 / 47387 ti = "16/22465/47387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22465/47387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22465 ÷ 216
    22465 ÷ 65536     		x = 0.342788696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47387 ÷ 216
    47387 ÷ 65536     		y = 0.723068237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342788696289062 × 2 - 1) × π
    -0.314422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98778775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723068237304688 × 2 - 1) × π
    -0.446136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4015790710912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98778775} λ = -0.98778775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4015790710912))-π/2
    2×atan(0.246207877083421)-π/2
    2×0.241406434073424-π/2
    0.482812868146849-1.57079632675     		φ = -1.08798346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98778775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.596069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08798346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.336860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22465 KachelY 47387 -0.98778775 -1.08798346 -56.596069 -62.336860
    Oben rechts KachelX + 1 22466 KachelY 47387 -0.98769188 -1.08798346 -56.590576 -62.336860
    Unten links KachelX 22465 KachelY + 1 47388 -0.98778775 -1.08802797 -56.596069 -62.339411
    Unten rechts KachelX + 1 22466 KachelY + 1 47388 -0.98769188 -1.08802797 -56.590576 -62.339411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08798346--1.08802797) × R
    4.45099999999421e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08798346--1.08802797) × R
    4.45099999999421e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98778775--0.98769188) × cos(-1.08798346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464272343968931 × 6371000     		do = 283.57186964545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98778775--0.98769188) × cos(-1.08802797) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464232921336224 × 6371000     		du = 283.547790783532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08798346)-sin(-1.08802797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464272343968931-0.464232921336224)×R²
    abs(-0.98769188--0.98778775)×3.94226327061209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94226327061209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94226327061209e-05×40589641000000     		ar = 80409.9712943531m²