Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22464 / 11585
↖ ↑ ↗
← N 81.387239°
W118.300781°		 ← 45.74 m → N 81.387239°
W118.298034°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
N 81.386828°
W118.300781°		 ← 45.74 m →
2 092 m²		 N 81.386828°
W118.298034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.171390533447266 y=0.0883903503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.171390533447266 × 217)
    floor (0.171390533447266 × 131072)
    floor (22464.5)     		tx = 22464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0883903503417969 × 217)
    floor (0.0883903503417969 × 131072)
    floor (11585.5)     		ty = 11585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22464 / 11585 ti = "17/22464/11585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22464/11585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22464 ÷ 217
    22464 ÷ 131072     		x = 0.17138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11585 ÷ 217
    11585 ÷ 131072     		y = 0.0883865356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17138671875 × 2 - 1) × π
    -0.6572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.06473814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0883865356445312 × 2 - 1) × π
    0.823226928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.58624367140165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06473814} λ = -2.06473814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58624367140165))-π/2
    2×atan(13.2797945248423)-π/2
    2×1.49563580725362-π/2
    2.99127161450725-1.57079632675     		φ = 1.42047529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06473814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.300781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42047529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.387239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22464 KachelY 11585 -2.06473814 1.42047529 -118.300781 81.387239
    Oben rechts KachelX + 1 22465 KachelY 11585 -2.06469020 1.42047529 -118.298034 81.387239
    Unten links KachelX 22464 KachelY + 1 11586 -2.06473814 1.42046811 -118.300781 81.386828
    Unten rechts KachelX + 1 22465 KachelY + 1 11586 -2.06469020 1.42046811 -118.298034 81.386828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42047529-1.42046811) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42047529-1.42046811) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06473814--2.06469020) × cos(1.42047529) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.149755556665001 × 6371000     		do = 45.7392017139137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06473814--2.06469020) × cos(1.42046811) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.149762655692653 × 6371000     		du = 45.7413699396876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42047529)-sin(1.42046811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149755556665001-0.149762655692653)×R²
    abs(-2.06469020--2.06473814)×7.0990276519467e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.0990276519467e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.0990276519467e-06×40589641000000     		ar = 2092.3335718527m²