Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 22463 / 12315
↖ ↑ ↗
← N 81.081725°
W118.303528°		 ← 47.35 m → N 81.081725°
W118.300781°		 →
↑
47.34 m
↓
↑
47.34 m
↓
N 81.081299°
W118.303528°		 ← 47.35 m →
2 241 m²		 N 81.081299°
W118.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.171382904052734 y=0.0939598083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.171382904052734 × 217)
    floor (0.171382904052734 × 131072)
    floor (22463.5)     		tx = 22463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0939598083496094 × 217)
    floor (0.0939598083496094 × 131072)
    floor (12315.5)     		ty = 12315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22463 / 12315 ti = "17/22463/12315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22463/12315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22463 ÷ 217
    22463 ÷ 131072     		x = 0.171379089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12315 ÷ 217
    12315 ÷ 131072     		y = 0.0939559936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.171379089355469 × 2 - 1) × π
    -0.657241821289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.06478608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0939559936523438 × 2 - 1) × π
    0.812088012695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.55124973467901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06478608} λ = -2.06478608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55124973467901))-π/2
    2×atan(12.8231192698683)-π/2
    2×1.49296969441662-π/2
    2.98593938883323-1.57079632675     		φ = 1.41514306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06478608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.303528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41514306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.081725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22463 KachelY 12315 -2.06478608 1.41514306 -118.303528 81.081725
    Oben rechts KachelX + 1 22464 KachelY 12315 -2.06473814 1.41514306 -118.300781 81.081725
    Unten links KachelX 22463 KachelY + 1 12316 -2.06478608 1.41513563 -118.303528 81.081299
    Unten rechts KachelX + 1 22464 KachelY + 1 12316 -2.06473814 1.41513563 -118.300781 81.081299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41514306-1.41513563) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dl = 47.3365299994868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41514306-1.41513563) × R
    7.42999999991945e-06 × 6371000     		dr = 47.3365299994868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06478608--2.06473814) × cos(1.41514306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155025501429834 × 6371000     		do = 47.3487784930471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06478608--2.06473814) × cos(1.41513563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155032841600336 × 6371000     		du = 47.3510203700544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41514306)-sin(1.41513563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155025501429834-0.155032841600336)×R²
    abs(-2.06473814--2.06478608)×7.34017050221802e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34017050221802e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34017050221802e-06×40589641000000     		ar = 2241.37993486642m²