Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22463 / 11583
↖ ↑ ↗
← N 81.388061°
W118.303528°		 ← 45.73 m → N 81.388061°
W118.300781°		 →
↑
45.68 m
↓
↑
45.68 m
↓
N 81.387650°
W118.303528°		 ← 45.74 m →
2 089 m²		 N 81.387650°
W118.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.171382904052734 y=0.0883750915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.171382904052734 × 217)
    floor (0.171382904052734 × 131072)
    floor (22463.5)     		tx = 22463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0883750915527344 × 217)
    floor (0.0883750915527344 × 131072)
    floor (11583.5)     		ty = 11583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22463 / 11583 ti = "17/22463/11583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22463/11583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22463 ÷ 217
    22463 ÷ 131072     		x = 0.171379089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11583 ÷ 217
    11583 ÷ 131072     		y = 0.0883712768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.171379089355469 × 2 - 1) × π
    -0.657241821289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.06478608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0883712768554688 × 2 - 1) × π
    0.823257446289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.58633954520089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06478608} λ = -2.06478608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58633954520089))-π/2
    2×atan(13.281067770231)-π/2
    2×1.49564298573058-π/2
    2.99128597146116-1.57079632675     		φ = 1.42048964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06478608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.303528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42048964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.388061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22463 KachelY 11583 -2.06478608 1.42048964 -118.303528 81.388061
    Oben rechts KachelX + 1 22464 KachelY 11583 -2.06473814 1.42048964 -118.300781 81.388061
    Unten links KachelX 22463 KachelY + 1 11584 -2.06478608 1.42048247 -118.303528 81.387650
    Unten rechts KachelX + 1 22464 KachelY + 1 11584 -2.06473814 1.42048247 -118.300781 81.387650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42048964-1.42048247) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dl = 45.6800699996514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42048964-1.42048247) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dr = 45.6800699996514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06478608--2.06473814) × cos(1.42048964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149741368473789 × 6371000     		do = 45.7348682746896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06478608--2.06473814) × cos(1.42048247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149748457629629 × 6371000     		du = 45.7370334853581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42048964)-sin(1.42048247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149741368473789-0.149748457629629)×R²
    abs(-2.06473814--2.06478608)×7.08915584013425e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.08915584013425e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.08915584013425e-06×40589641000000     		ar = 2089.22143761772m²