Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22462 / 39078
↖ ↑ ↗
← S 32.722599°
W 56.612549°		 ← 513.85 m → S 32.722599°
W 56.607056°		 →
↑
513.82 m
↓
↑
513.82 m
↓
S 32.727220°
W 56.612549°		 ← 513.83 m →
264 022 m²		 S 32.727220°
W 56.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342750549316406 y=0.596290588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342750549316406 × 216)
    floor (0.342750549316406 × 65536)
    floor (22462.5)     		tx = 22462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596290588378906 × 216)
    floor (0.596290588378906 × 65536)
    floor (39078.5)     		ty = 39078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22462 / 39078 ti = "16/22462/39078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22462/39078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22462 ÷ 216
    22462 ÷ 65536     		x = 0.342742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39078 ÷ 216
    39078 ÷ 65536     		y = 0.596282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.31451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98807537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.19256591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.604963673205109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98807537} λ = -0.98807537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604963673205109))-π/2
    2×atan(0.546094264133715)-π/2
    2×0.499839620680187-π/2
    0.999679241360374-1.57079632675     		φ = -0.57111709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98807537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.612549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57111709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.722599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22462 KachelY 39078 -0.98807537 -0.57111709 -56.612549 -32.722599
    Oben rechts KachelX + 1 22463 KachelY 39078 -0.98797950 -0.57111709 -56.607056 -32.722599
    Unten links KachelX 22462 KachelY + 1 39079 -0.98807537 -0.57119774 -56.612549 -32.727220
    Unten rechts KachelX + 1 22463 KachelY + 1 39079 -0.98797950 -0.57119774 -56.607056 -32.727220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57111709--0.57119774) × R
    8.06500000000154e-05 × 6371000     		dl = 513.821150000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57111709--0.57119774) × R
    8.06500000000154e-05 × 6371000     		dr = 513.821150000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98807537--0.98797950) × cos(-0.57111709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.841297632422445 × 6371000     		do = 513.854304813574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98807537--0.98797950) × cos(-0.57119774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.841254032539211 × 6371000     		du = 513.827674538121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57111709)-sin(-0.57119774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841297632422445-0.841254032539211)×R²
    abs(-0.98797950--0.98807537)×4.35998832343243e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35998832343243e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35998832343243e-05×40589641000000     		ar = 264022.368375549m²