Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2246 / 6550
↖ ↑ ↗
← S 72.685765°
W 81.298828°		 ← 1 454.28 m → S 72.685765°
W 81.254883°		 →
↑
1 453.73 m
↓
↑
1 453.73 m
↓
S 72.698839°
W 81.298828°		 ← 1 453.21 m →
2 113 363 m²		 S 72.698839°
W 81.254883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27423095703125 y=0.79962158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27423095703125 × 213)
    floor (0.27423095703125 × 8192)
    floor (2246.5)     		tx = 2246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79962158203125 × 213)
    floor (0.79962158203125 × 8192)
    floor (6550.5)     		ty = 6550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2246 / 6550 ti = "13/2246/6550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2246/6550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2246 ÷ 213
    2246 ÷ 8192     		x = 0.274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6550 ÷ 213
    6550 ÷ 8192     		y = 0.799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.45166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41893223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.59912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88219442668188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41893223} λ = -1.41893223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88219442668188))-π/2
    2×atan(0.152255625088296)-π/2
    2×0.151095204623532-π/2
    0.302190409247063-1.57079632675     		φ = -1.26860592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41893223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.298828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26860592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.685765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2246 KachelY 6550 -1.41893223 -1.26860592 -81.298828 -72.685765
    Oben rechts KachelX + 1 2247 KachelY 6550 -1.41816524 -1.26860592 -81.254883 -72.685765
    Unten links KachelX 2246 KachelY + 1 6551 -1.41893223 -1.26883410 -81.298828 -72.698839
    Unten rechts KachelX + 1 2247 KachelY + 1 6551 -1.41816524 -1.26883410 -81.254883 -72.698839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26860592--1.26883410) × R
    0.000228180000000133 × 6371000     		dl = 1453.73478000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26860592--1.26883410) × R
    0.000228180000000133 × 6371000     		dr = 1453.73478000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41893223--1.41816524) × cos(-1.26860592) × R
    0.000766990000000023 × 0.297612071589966 × 6371000     		do = 1454.27939084741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41893223--1.41816524) × cos(-1.26883410) × R
    0.000766990000000023 × 0.297394223389914 × 6371000     		du = 1453.21487707962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26860592)-sin(-1.26883410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297612071589966-0.297394223389914)×R²
    abs(-1.41816524--1.41893223)×0.000217848200051995×R²
    0.000766990000000023×0.000217848200051995×6371000²
    0.000766990000000023×0.000217848200051995×40589641000000     		ar = 2113362.77913798m²