Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2246 / 6531
↖ ↑ ↗
← S 72.435534°
W 81.298828°		 ← 1 474.64 m → S 72.435534°
W 81.254883°		 →
↑
1 474.12 m
↓
↑
1 474.12 m
↓
S 72.448791°
W 81.298828°		 ← 1 473.56 m →
2 173 004 m²		 S 72.448791°
W 81.254883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27423095703125 y=0.79730224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27423095703125 × 213)
    floor (0.27423095703125 × 8192)
    floor (2246.5)     		tx = 2246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79730224609375 × 213)
    floor (0.79730224609375 × 8192)
    floor (6531.5)     		ty = 6531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2246 / 6531 ti = "13/2246/6531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2246/6531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2246 ÷ 213
    2246 ÷ 8192     		x = 0.274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6531 ÷ 213
    6531 ÷ 8192     		y = 0.7972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.45166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41893223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86762160919739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41893223} λ = -1.41893223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86762160919739))-π/2
    2×atan(0.154490664379616)-π/2
    2×0.15327887588813-π/2
    0.30655775177626-1.57079632675     		φ = -1.26423857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41893223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.298828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26423857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.435534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2246 KachelY 6531 -1.41893223 -1.26423857 -81.298828 -72.435534
    Oben rechts KachelX + 1 2247 KachelY 6531 -1.41816524 -1.26423857 -81.254883 -72.435534
    Unten links KachelX 2246 KachelY + 1 6532 -1.41893223 -1.26446995 -81.298828 -72.448791
    Unten rechts KachelX + 1 2247 KachelY + 1 6532 -1.41816524 -1.26446995 -81.254883 -72.448791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26423857--1.26446995) × R
    0.000231380000000003 × 6371000     		dl = 1474.12198000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26423857--1.26446995) × R
    0.000231380000000003 × 6371000     		dr = 1474.12198000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41893223--1.41816524) × cos(-1.26423857) × R
    0.000766990000000023 × 0.30177867183341 × 6371000     		do = 1474.63945497912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41893223--1.41816524) × cos(-1.26446995) × R
    0.000766990000000023 × 0.30155807115291 × 6371000     		du = 1473.56149123408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26423857)-sin(-1.26446995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30177867183341-0.30155807115291)×R²
    abs(-1.41816524--1.41893223)×0.000220600680500671×R²
    0.000766990000000023×0.000220600680500671×6371000²
    0.000766990000000023×0.000220600680500671×40589641000000     		ar = 2173003.91783047m²