Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22459 / 39073
↖ ↑ ↗
← S 32.699489°
W 56.629029°		 ← 514.04 m → S 32.699489°
W 56.623535°		 →
↑
514.01 m
↓
↑
514.01 m
↓
S 32.704111°
W 56.629029°		 ← 514.01 m →
264 217 m²		 S 32.704111°
W 56.623535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342704772949219 y=0.596214294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342704772949219 × 216)
    floor (0.342704772949219 × 65536)
    floor (22459.5)     		tx = 22459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596214294433594 × 216)
    floor (0.596214294433594 × 65536)
    floor (39073.5)     		ty = 39073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22459 / 39073 ti = "16/22459/39073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22459/39073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22459 ÷ 216
    22459 ÷ 65536     		x = 0.342697143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39073 ÷ 216
    39073 ÷ 65536     		y = 0.596206665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342697143554688 × 2 - 1) × π
    -0.314605712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98836300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596206665039062 × 2 - 1) × π
    -0.192413330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.604484304208908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98836300} λ = -0.98836300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604484304208908))-π/2
    2×atan(0.546356107547737)-π/2
    2×0.50004129280497-π/2
    1.00008258560994-1.57079632675     		φ = -0.57071374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98836300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.629029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57071374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.699489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22459 KachelY 39073 -0.98836300 -0.57071374 -56.629029 -32.699489
    Oben rechts KachelX + 1 22460 KachelY 39073 -0.98826712 -0.57071374 -56.623535 -32.699489
    Unten links KachelX 22459 KachelY + 1 39074 -0.98836300 -0.57079442 -56.629029 -32.704111
    Unten rechts KachelX + 1 22460 KachelY + 1 39074 -0.98826712 -0.57079442 -56.623535 -32.704111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57071374--0.57079442) × R
    8.06800000000552e-05 × 6371000     		dl = 514.012280000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57071374--0.57079442) × R
    8.06800000000552e-05 × 6371000     		dr = 514.012280000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98836300--0.98826712) × cos(-0.57071374) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.841515603773903 × 6371000     		do = 514.041052008045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98836300--0.98826712) × cos(-0.57079442) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.841472015052046 × 6371000     		du = 514.014425772788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57071374)-sin(-0.57079442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841515603773903-0.841472015052046)×R²
    abs(-0.98826712--0.98836300)×4.35887218570574e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.35887218570574e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.35887218570574e-05×40589641000000     		ar = 264216.570193778m²