Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22456 / 39076
↖ ↑ ↗
← S 32.713355°
W 56.645508°		 ← 513.96 m → S 32.713355°
W 56.640014°		 →
↑
513.88 m
↓
↑
513.88 m
↓
S 32.717977°
W 56.645508°		 ← 513.93 m →
264 110 m²		 S 32.717977°
W 56.640014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342658996582031 y=0.596260070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342658996582031 × 216)
    floor (0.342658996582031 × 65536)
    floor (22456.5)     		tx = 22456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596260070800781 × 216)
    floor (0.596260070800781 × 65536)
    floor (39076.5)     		ty = 39076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22456 / 39076 ti = "16/22456/39076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22456/39076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22456 ÷ 216
    22456 ÷ 65536     		x = 0.3426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39076 ÷ 216
    39076 ÷ 65536     		y = 0.59625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98865062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.1925048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.604771925606628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98865062} λ = -0.98865062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604771925606628))-π/2
    2×atan(0.546198986437211)-π/2
    2×0.49992028326079-π/2
    0.99984056652158-1.57079632675     		φ = -0.57095576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98865062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57095576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.713355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22456 KachelY 39076 -0.98865062 -0.57095576 -56.645508 -32.713355
    Oben rechts KachelX + 1 22457 KachelY 39076 -0.98855474 -0.57095576 -56.640014 -32.713355
    Unten links KachelX 22456 KachelY + 1 39077 -0.98865062 -0.57103642 -56.645508 -32.717977
    Unten rechts KachelX + 1 22457 KachelY + 1 39077 -0.98855474 -0.57103642 -56.640014 -32.717977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57095576--0.57103642) × R
    8.06599999999547e-05 × 6371000     		dl = 513.884859999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57095576--0.57103642) × R
    8.06599999999547e-05 × 6371000     		dr = 513.884859999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98865062--0.98855474) × cos(-0.57095576) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.841384831985259 × 6371000     		do = 513.961169868005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98865062--0.98855474) × cos(-0.57103642) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.841341237643611 × 6371000     		du = 513.93454019989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57095576)-sin(-0.57103642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841384831985259-0.841341237643611)×R²
    abs(-0.98855474--0.98865062)×4.35943416478013e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.35943416478013e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.35943416478013e-05×40589641000000     		ar = 264110.02167449m²