Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22456 / 39075
↖ ↑ ↗
← S 32.708733°
W 56.645508°		 ← 513.99 m → S 32.708733°
W 56.640014°		 →
↑
513.95 m
↓
↑
513.95 m
↓
S 32.713355°
W 56.645508°		 ← 513.96 m →
264 156 m²		 S 32.713355°
W 56.640014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342658996582031 y=0.596244812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342658996582031 × 216)
    floor (0.342658996582031 × 65536)
    floor (22456.5)     		tx = 22456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596244812011719 × 216)
    floor (0.596244812011719 × 65536)
    floor (39075.5)     		ty = 39075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22456 / 39075 ti = "16/22456/39075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22456/39075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22456 ÷ 216
    22456 ÷ 65536     		x = 0.3426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39075 ÷ 216
    39075 ÷ 65536     		y = 0.596237182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98865062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596237182617188 × 2 - 1) × π
    -0.192474365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.604676051807388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98865062} λ = -0.98865062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604676051807388))-π/2
    2×atan(0.546251355119534)-π/2
    2×0.499960617685901-π/2
    0.999921235371801-1.57079632675     		φ = -0.57087509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98865062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57087509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.708733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22456 KachelY 39075 -0.98865062 -0.57087509 -56.645508 -32.708733
    Oben rechts KachelX + 1 22457 KachelY 39075 -0.98855474 -0.57087509 -56.640014 -32.708733
    Unten links KachelX 22456 KachelY + 1 39076 -0.98865062 -0.57095576 -56.645508 -32.713355
    Unten rechts KachelX + 1 22457 KachelY + 1 39076 -0.98855474 -0.57095576 -56.640014 -32.713355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57087509--0.57095576) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dl = 513.948570000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57087509--0.57095576) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dr = 513.948570000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98865062--0.98855474) × cos(-0.57087509) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.841428426256513 × 6371000     		do = 513.98779949312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98865062--0.98855474) × cos(-0.57095576) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.841384831985259 × 6371000     		du = 513.961169868005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57087509)-sin(-0.57095576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841428426256513-0.841384831985259)×R²
    abs(-0.98855474--0.98865062)×4.35942712539994e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.35942712539994e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.35942712539994e-05×40589641000000     		ar = 264156.451560997m²