Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22456 / 12088
↖ ↑ ↗
← N 81.177861°
W118.322754°		 ← 46.84 m → N 81.177861°
W118.320007°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
N 81.177440°
W118.322754°		 ← 46.84 m →
2 194 m²		 N 81.177440°
W118.320007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.171329498291016 y=0.0922279357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.171329498291016 × 217)
    floor (0.171329498291016 × 131072)
    floor (22456.5)     		tx = 22456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0922279357910156 × 217)
    floor (0.0922279357910156 × 131072)
    floor (12088.5)     		ty = 12088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22456 / 12088 ti = "17/22456/12088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22456/12088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22456 ÷ 217
    22456 ÷ 131072     		x = 0.17132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12088 ÷ 217
    12088 ÷ 131072     		y = 0.09222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17132568359375 × 2 - 1) × π
    -0.6573486328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.06512164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09222412109375 × 2 - 1) × π
    0.8155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56213141089276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06512164} λ = -2.06512164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56213141089276))-π/2
    2×atan(12.9634182615056)-π/2
    2×1.49380864517366-π/2
    2.98761729034733-1.57079632675     		φ = 1.41682096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06512164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.322754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41682096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.177861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22456 KachelY 12088 -2.06512164 1.41682096 -118.322754 81.177861
    Oben rechts KachelX + 1 22457 KachelY 12088 -2.06507370 1.41682096 -118.320007 81.177861
    Unten links KachelX 22456 KachelY + 1 12089 -2.06512164 1.41681361 -118.322754 81.177440
    Unten rechts KachelX + 1 22457 KachelY + 1 12089 -2.06507370 1.41681361 -118.320007 81.177440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41682096-1.41681361) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41682096-1.41681361) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06512164--2.06507370) × cos(1.41682096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153367669007069 × 6371000     		do = 46.8424337985285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06512164--2.06507370) × cos(1.41681361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15337493204651 × 6371000     		du = 46.8446521177244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41682096)-sin(1.41681361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153367669007069-0.15337493204651)×R²
    abs(-2.06507370--2.06512164)×7.26303944109663e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.26303944109663e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.26303944109663e-06×40589641000000     		ar = 2193.53555957822m²