Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22455 / 39044
↖ ↑ ↗
← S 32.565333°
W 56.651001°		 ← 514.76 m → S 32.565333°
W 56.645508°		 →
↑
514.71 m
↓
↑
514.71 m
↓
S 32.569962°
W 56.651001°		 ← 514.73 m →
264 946 m²		 S 32.569962°
W 56.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342643737792969 y=0.595771789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342643737792969 × 216)
    floor (0.342643737792969 × 65536)
    floor (22455.5)     		tx = 22455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595771789550781 × 216)
    floor (0.595771789550781 × 65536)
    floor (39044.5)     		ty = 39044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22455 / 39044 ti = "16/22455/39044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22455/39044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22455 ÷ 216
    22455 ÷ 65536     		x = 0.342636108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39044 ÷ 216
    39044 ÷ 65536     		y = 0.59576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342636108398438 × 2 - 1) × π
    -0.314727783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98874649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1915283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.601703964030945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98874649} λ = -0.98874649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601703964030945))-π/2
    2×atan(0.547877277089502)-π/2
    2×0.501212020571911-π/2
    1.00242404114382-1.57079632675     		φ = -0.56837229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98874649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.651001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56837229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.565333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22455 KachelY 39044 -0.98874649 -0.56837229 -56.651001 -32.565333
    Oben rechts KachelX + 1 22456 KachelY 39044 -0.98865062 -0.56837229 -56.645508 -32.565333
    Unten links KachelX 22455 KachelY + 1 39045 -0.98874649 -0.56845308 -56.651001 -32.569962
    Unten rechts KachelX + 1 22456 KachelY + 1 39045 -0.98865062 -0.56845308 -56.645508 -32.569962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56837229--0.56845308) × R
    8.07900000000528e-05 × 6371000     		dl = 514.713090000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56837229--0.56845308) × R
    8.07900000000528e-05 × 6371000     		dr = 514.713090000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98874649--0.98865062) × cos(-0.56837229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.842778223973703 × 6371000     		do = 514.758632025447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98874649--0.98865062) × cos(-0.56845308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.842734735120065 × 6371000     		du = 514.732069565514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56837229)-sin(-0.56845308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842778223973703-0.842734735120065)×R²
    abs(-0.98865062--0.98874649)×4.34888536383626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34888536383626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34888536383626e-05×40589641000000     		ar = 264946.170215595m²