Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22454 / 39046
↖ ↑ ↗
← S 32.574592°
W 56.656494°		 ← 514.76 m → S 32.574592°
W 56.651001°		 →
↑
514.71 m
↓
↑
514.71 m
↓
S 32.579221°
W 56.656494°		 ← 514.73 m →
264 946 m²		 S 32.579221°
W 56.651001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342628479003906 y=0.595802307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342628479003906 × 216)
    floor (0.342628479003906 × 65536)
    floor (22454.5)     		tx = 22454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595802307128906 × 216)
    floor (0.595802307128906 × 65536)
    floor (39046.5)     		ty = 39046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22454 / 39046 ti = "16/22454/39046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22454/39046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22454 ÷ 216
    22454 ÷ 65536     		x = 0.342620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39046 ÷ 216
    39046 ÷ 65536     		y = 0.595794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.31475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98884237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.19158935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.601895711629425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98884237} λ = -0.98884237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601895711629425))-π/2
    2×atan(0.547772233008655)-π/2
    2×0.501131224391358-π/2
    1.00226244878272-1.57079632675     		φ = -0.56853388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98884237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.656494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56853388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.574592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22454 KachelY 39046 -0.98884237 -0.56853388 -56.656494 -32.574592
    Oben rechts KachelX + 1 22455 KachelY 39046 -0.98874649 -0.56853388 -56.651001 -32.574592
    Unten links KachelX 22454 KachelY + 1 39047 -0.98884237 -0.56861467 -56.656494 -32.579221
    Unten rechts KachelX + 1 22455 KachelY + 1 39047 -0.98874649 -0.56861467 -56.651001 -32.579221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56853388--0.56861467) × R
    8.07899999999417e-05 × 6371000     		dl = 514.713089999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56853388--0.56861467) × R
    8.07899999999417e-05 × 6371000     		dr = 514.713089999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98884237--0.98874649) × cos(-0.56853388) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.842691235381905 × 6371000     		do = 514.759188315728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98884237--0.98874649) × cos(-0.56861467) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.84264773552677 × 6371000     		du = 514.732616364839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56853388)-sin(-0.56861467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842691235381905-0.84264773552677)×R²
    abs(-0.98874649--0.98884237)×4.34998551350763e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.34998551350763e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.34998551350763e-05×40589641000000     		ar = 264946.454101995m²