Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2245 / 6527
↖ ↑ ↗
← S 72.382410°
W 81.342773°		 ← 1 478.96 m → S 72.382410°
W 81.298828°		 →
↑
1 478.45 m
↓
↑
1 478.45 m
↓
S 72.395706°
W 81.342773°		 ← 1 477.88 m →
2 185 773 m²		 S 72.395706°
W 81.298828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27410888671875 y=0.79681396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27410888671875 × 213)
    floor (0.27410888671875 × 8192)
    floor (2245.5)     		tx = 2245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79681396484375 × 213)
    floor (0.79681396484375 × 8192)
    floor (6527.5)     		ty = 6527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2245 / 6527 ti = "13/2245/6527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2245/6527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2245 ÷ 213
    2245 ÷ 8192     		x = 0.2740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6527 ÷ 213
    6527 ÷ 8192     		y = 0.7967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41969922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8645536476217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41969922} λ = -1.41969922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8645536476217))-π/2
    2×atan(0.154965363608895)-π/2
    2×0.15374247616728-π/2
    0.307484952334559-1.57079632675     		φ = -1.26331137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41969922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.342773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26331137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.382410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2245 KachelY 6527 -1.41969922 -1.26331137 -81.342773 -72.382410
    Oben rechts KachelX + 1 2246 KachelY 6527 -1.41893223 -1.26331137 -81.298828 -72.382410
    Unten links KachelX 2245 KachelY + 1 6528 -1.41969922 -1.26354343 -81.342773 -72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 2246 KachelY + 1 6528 -1.41893223 -1.26354343 -81.298828 -72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26331137--1.26354343) × R
    0.000232059999999867 × 6371000     		dl = 1478.45425999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26331137--1.26354343) × R
    0.000232059999999867 × 6371000     		dr = 1478.45425999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41969922--1.41893223) × cos(-1.26331137) × R
    0.000766990000000023 × 0.302662514079688 × 6371000     		do = 1478.95834418497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41969922--1.41893223) × cos(-1.26354343) × R
    0.000766990000000023 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 1477.87752994917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26331137)-sin(-1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302662514079688-0.302441330058417)×R²
    abs(-1.41893223--1.41969922)×0.000221184021270637×R²
    0.000766990000000023×0.000221184021270637×6371000²
    0.000766990000000023×0.000221184021270637×40589641000000     		ar = 2185773.30692501m²