Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2245 / 2986
↖ ↑ ↗
← S 63.312683°
E 17.314453°		 ← 4 389.26 m → S 63.312683°
E 17.402344°		 →
↑
4 386.24 m
↓
↑
4 386.24 m
↓
S 63.352129°
E 17.314453°		 ← 4 383.24 m →
19 239 154 m²		 S 63.352129°
E 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5482177734375 y=0.7291259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5482177734375 × 212)
    floor (0.5482177734375 × 4096)
    floor (2245.5)     		tx = 2245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7291259765625 × 212)
    floor (0.7291259765625 × 4096)
    floor (2986.5)     		ty = 2986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2245 / 2986 ti = "12/2245/2986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2245/2986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2245 ÷ 212
    2245 ÷ 4096     		x = 0.548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2986 ÷ 212
    2986 ÷ 4096     		y = 0.72900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548095703125 × 2 - 1) × π
    0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72900390625 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43887397899561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30219422} λ = 0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43887397899561))-π/2
    2×atan(0.237194694574428)-π/2
    2×0.232890777012031-π/2
    0.465781554024061-1.57079632675     		φ = -1.10501477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10501477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.312683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2245 KachelY 2986 0.30219422 -1.10501477 17.314453 -63.312683
    Oben rechts KachelX + 1 2246 KachelY 2986 0.30372820 -1.10501477 17.402344 -63.312683
    Unten links KachelX 2245 KachelY + 1 2987 0.30219422 -1.10570324 17.314453 -63.352129
    Unten rechts KachelX + 1 2246 KachelY + 1 2987 0.30372820 -1.10570324 17.402344 -63.352129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10501477--1.10570324) × R
    0.000688470000000052 × 6371000     		dl = 4386.24237000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10501477--1.10570324) × R
    0.000688470000000052 × 6371000     		dr = 4386.24237000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30219422-0.30372820) × cos(-1.10501477) × R
    0.00153397999999999 × 0.449121236737269 × 6371000     		do = 4389.2558194263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30219422-0.30372820) × cos(-1.10570324) × R
    0.00153397999999999 × 0.44850600248744 × 6371000     		du = 4383.24314335917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10501477)-sin(-1.10570324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449121236737269-0.44850600248744)×R²
    abs(0.30372820-0.30219422)×0.000615234249828456×R²
    0.00153397999999999×0.000615234249828456×6371000²
    0.00153397999999999×0.000615234249828456×40589641000000     		ar = 19239154.0806049m²