Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22447 / 39067
↖ ↑ ↗
← S 32.671749°
W 56.694946°		 ← 514.15 m → S 32.671749°
W 56.689453°		 →
↑
514.14 m
↓
↑
514.14 m
↓
S 32.676373°
W 56.694946°		 ← 514.12 m →
264 337 m²		 S 32.676373°
W 56.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342521667480469 y=0.596122741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342521667480469 × 216)
    floor (0.342521667480469 × 65536)
    floor (22447.5)     		tx = 22447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596122741699219 × 216)
    floor (0.596122741699219 × 65536)
    floor (39067.5)     		ty = 39067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22447 / 39067 ti = "16/22447/39067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22447/39067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22447 ÷ 216
    22447 ÷ 65536     		x = 0.342514038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39067 ÷ 216
    39067 ÷ 65536     		y = 0.596115112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342514038085938 × 2 - 1) × π
    -0.314971923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98951348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596115112304688 × 2 - 1) × π
    -0.192230224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.603909061413467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98951348} λ = -0.98951348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603909061413467))-π/2
    2×atan(0.54667048537547)-π/2
    2×0.500283368301843-π/2
    1.00056673660369-1.57079632675     		φ = -0.57022959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98951348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.694946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57022959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.671749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22447 KachelY 39067 -0.98951348 -0.57022959 -56.694946 -32.671749
    Oben rechts KachelX + 1 22448 KachelY 39067 -0.98941761 -0.57022959 -56.689453 -32.671749
    Unten links KachelX 22447 KachelY + 1 39068 -0.98951348 -0.57031029 -56.694946 -32.676373
    Unten rechts KachelX + 1 22448 KachelY + 1 39068 -0.98941761 -0.57031029 -56.689453 -32.676373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57022959--0.57031029) × R
    8.07000000000446e-05 × 6371000     		dl = 514.139700000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57022959--0.57031029) × R
    8.07000000000446e-05 × 6371000     		dr = 514.139700000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98951348--0.98941761) × cos(-0.57022959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.841777058852328 × 6371000     		do = 514.147132613561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98951348--0.98941761) × cos(-0.57031029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84173349220749 × 6371000     		du = 514.120522639714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57022959)-sin(-0.57031029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841777058852328-0.84173349220749)×R²
    abs(-0.98941761--0.98951348)×4.35666448380667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35666448380667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35666448380667e-05×40589641000000     		ar = 264336.612039467m²