Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22444 / 39068
↖ ↑ ↗
← S 32.676373°
W 56.711426°		 ← 514.12 m → S 32.676373°
W 56.705933°		 →
↑
514.14 m
↓
↑
514.14 m
↓
S 32.680996°
W 56.711426°		 ← 514.09 m →
264 323 m²		 S 32.680996°
W 56.705933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342475891113281 y=0.596138000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342475891113281 × 216)
    floor (0.342475891113281 × 65536)
    floor (22444.5)     		tx = 22444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596138000488281 × 216)
    floor (0.596138000488281 × 65536)
    floor (39068.5)     		ty = 39068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22444 / 39068 ti = "16/22444/39068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22444/39068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22444 ÷ 216
    22444 ÷ 65536     		x = 0.34246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39068 ÷ 216
    39068 ÷ 65536     		y = 0.59613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.3150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98980110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.1922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.604004935212707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98980110} λ = -0.98980110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604004935212707))-π/2
    2×atan(0.546618076511463)-π/2
    2×0.500243017163717-π/2
    1.00048603432743-1.57079632675     		φ = -0.57031029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98980110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.711426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57031029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.676373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22444 KachelY 39068 -0.98980110 -0.57031029 -56.711426 -32.676373
    Oben rechts KachelX + 1 22445 KachelY 39068 -0.98970523 -0.57031029 -56.705933 -32.676373
    Unten links KachelX 22444 KachelY + 1 39069 -0.98980110 -0.57039099 -56.711426 -32.680996
    Unten rechts KachelX + 1 22445 KachelY + 1 39069 -0.98970523 -0.57039099 -56.705933 -32.680996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57031029--0.57039099) × R
    8.07000000000446e-05 × 6371000     		dl = 514.139700000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57031029--0.57039099) × R
    8.07000000000446e-05 × 6371000     		dr = 514.139700000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98980110--0.98970523) × cos(-0.57031029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84173349220749 × 6371000     		do = 514.120522639714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98980110--0.98970523) × cos(-0.57039099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.841689920080871 × 6371000     		du = 514.093909317662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57031029)-sin(-0.57039099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84173349220749-0.841689920080871)×R²
    abs(-0.98970523--0.98980110)×4.35721266189848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35721266189848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35721266189848e-05×40589641000000     		ar = 264322.929934683m²