Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22442 / 39051
↖ ↑ ↗
← S 32.597734°
W 56.722412°		 ← 514.57 m → S 32.597734°
W 56.716919°		 →
↑
514.52 m
↓
↑
514.52 m
↓
S 32.602361°
W 56.722412°		 ← 514.55 m →
264 752 m²		 S 32.602361°
W 56.716919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342445373535156 y=0.595878601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342445373535156 × 216)
    floor (0.342445373535156 × 65536)
    floor (22442.5)     		tx = 22442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595878601074219 × 216)
    floor (0.595878601074219 × 65536)
    floor (39051.5)     		ty = 39051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22442 / 39051 ti = "16/22442/39051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22442/39051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22442 ÷ 216
    22442 ÷ 65536     		x = 0.342437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39051 ÷ 216
    39051 ÷ 65536     		y = 0.595870971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.31512451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98999285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595870971679688 × 2 - 1) × π
    -0.191741943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.602375080625626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98999285} λ = -0.98999285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602375080625626))-π/2
    2×atan(0.547509710910675)-π/2
    2×0.500929270433148-π/2
    1.0018585408663-1.57079632675     		φ = -0.56893779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98999285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.722412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56893779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.597734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22442 KachelY 39051 -0.98999285 -0.56893779 -56.722412 -32.597734
    Oben rechts KachelX + 1 22443 KachelY 39051 -0.98989698 -0.56893779 -56.716919 -32.597734
    Unten links KachelX 22442 KachelY + 1 39052 -0.98999285 -0.56901855 -56.722412 -32.602361
    Unten rechts KachelX + 1 22443 KachelY + 1 39052 -0.98989698 -0.56901855 -56.716919 -32.602361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56893779--0.56901855) × R
    8.0760000000013e-05 × 6371000     		dl = 514.521960000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56893779--0.56901855) × R
    8.0760000000013e-05 × 6371000     		dr = 514.521960000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98999285--0.98989698) × cos(-0.56893779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.842473702658748 × 6371000     		do = 514.572634130569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98999285--0.98989698) × cos(-0.56901855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.842430191473431 × 6371000     		du = 514.546058030719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56893779)-sin(-0.56901855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842473702658748-0.842430191473431)×R²
    abs(-0.98989698--0.98999285)×4.35111853175352e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35111853175352e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35111853175352e-05×40589641000000     		ar = 264752.083425454m²