Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22441 / 39061
↖ ↑ ↗
← S 32.644001°
W 56.727905°		 ← 514.31 m → S 32.644001°
W 56.722412°		 →
↑
514.33 m
↓
↑
514.33 m
↓
S 32.648626°
W 56.727905°		 ← 514.28 m →
264 517 m²		 S 32.648626°
W 56.722412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342430114746094 y=0.596031188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342430114746094 × 216)
    floor (0.342430114746094 × 65536)
    floor (22441.5)     		tx = 22441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596031188964844 × 216)
    floor (0.596031188964844 × 65536)
    floor (39061.5)     		ty = 39061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22441 / 39061 ti = "16/22441/39061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22441/39061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22441 ÷ 216
    22441 ÷ 65536     		x = 0.342422485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39061 ÷ 216
    39061 ÷ 65536     		y = 0.596023559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342422485351562 × 2 - 1) × π
    -0.315155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.99008872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596023559570312 × 2 - 1) × π
    -0.192047119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.603333818618027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99008872} λ = -0.99008872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603333818618027))-π/2
    2×atan(0.546985044098808)-π/2
    2×0.500525518982242-π/2
    1.00105103796448-1.57079632675     		φ = -0.56974529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99008872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.727905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56974529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.644001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22441 KachelY 39061 -0.99008872 -0.56974529 -56.727905 -32.644001
    Oben rechts KachelX + 1 22442 KachelY 39061 -0.98999285 -0.56974529 -56.722412 -32.644001
    Unten links KachelX 22441 KachelY + 1 39062 -0.99008872 -0.56982602 -56.727905 -32.648626
    Unten rechts KachelX + 1 22442 KachelY + 1 39062 -0.98999285 -0.56982602 -56.722412 -32.648626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56974529--0.56982602) × R
    8.07300000000843e-05 × 6371000     		dl = 514.330830000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56974529--0.56982602) × R
    8.07300000000843e-05 × 6371000     		dr = 514.330830000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99008872--0.98999285) × cos(-0.56974529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.842038397529833 × 6371000     		do = 514.306755081609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99008872--0.98999285) × cos(-0.56982602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.841994847603867 × 6371000     		du = 514.280155319444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56974529)-sin(-0.56982602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842038397529833-0.841994847603867)×R²
    abs(-0.98999285--0.99008872)×4.35499259668903e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35499259668903e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35499259668903e-05×40589641000000     		ar = 264516.979820876m²