Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22440 / 39062
↖ ↑ ↗
← S 32.648626°
W 56.733399°		 ← 514.33 m → S 32.648626°
W 56.727905°		 →
↑
514.27 m
↓
↑
514.27 m
↓
S 32.653251°
W 56.733399°		 ← 514.31 m →
264 498 m²		 S 32.653251°
W 56.727905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342414855957031 y=0.596046447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342414855957031 × 216)
    floor (0.342414855957031 × 65536)
    floor (22440.5)     		tx = 22440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596046447753906 × 216)
    floor (0.596046447753906 × 65536)
    floor (39062.5)     		ty = 39062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22440 / 39062 ti = "16/22440/39062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22440/39062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22440 ÷ 216
    22440 ÷ 65536     		x = 0.3424072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39062 ÷ 216
    39062 ÷ 65536     		y = 0.596038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3424072265625 × 2 - 1) × π
    -0.315185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.99018460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.19207763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.603429692417267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99018460} λ = -0.99018460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603429692417267))-π/2
    2×atan(0.546932605078307)-π/2
    2×0.500485155315849-π/2
    1.0009703106317-1.57079632675     		φ = -0.56982602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99018460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.733399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56982602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.648626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22440 KachelY 39062 -0.99018460 -0.56982602 -56.733399 -32.648626
    Oben rechts KachelX + 1 22441 KachelY 39062 -0.99008872 -0.56982602 -56.727905 -32.648626
    Unten links KachelX 22440 KachelY + 1 39063 -0.99018460 -0.56990674 -56.733399 -32.653251
    Unten rechts KachelX + 1 22441 KachelY + 1 39063 -0.99008872 -0.56990674 -56.727905 -32.653251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56982602--0.56990674) × R
    8.07199999999231e-05 × 6371000     		dl = 514.26711999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56982602--0.56990674) × R
    8.07199999999231e-05 × 6371000     		dr = 514.26711999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99018460--0.99008872) × cos(-0.56982602) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.841994847603867 × 6371000     		do = 514.333798810859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99018460--0.99008872) × cos(-0.56990674) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.841951297585874 × 6371000     		du = 514.307196217915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56982602)-sin(-0.56990674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841994847603867-0.841951297585874)×R²
    abs(-0.99008872--0.99018460)×4.35500179921666e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.35500179921666e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.35500179921666e-05×40589641000000     		ar = 264498.12115709m²