Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2244 / 6484
↖ ↑ ↗
← S 71.801410°
W 81.386719°		 ← 1 526.11 m → S 71.801410°
W 81.342773°		 →
↑
1 525.54 m
↓
↑
1 525.54 m
↓
S 71.815130°
W 81.386719°		 ← 1 525 m →
2 327 285 m²		 S 71.815130°
W 81.342773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27398681640625 y=0.79156494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27398681640625 × 213)
    floor (0.27398681640625 × 8192)
    floor (2244.5)     		tx = 2244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79156494140625 × 213)
    floor (0.79156494140625 × 8192)
    floor (6484.5)     		ty = 6484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2244 / 6484 ti = "13/2244/6484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2244/6484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2244 ÷ 213
    2244 ÷ 8192     		x = 0.27392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6484 ÷ 213
    6484 ÷ 8192     		y = 0.79150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27392578125 × 2 - 1) × π
    -0.4521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.42046621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.83157306068311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42046621} λ = -1.42046621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83157306068311))-π/2
    2×atan(0.160161425867924)-π/2
    2×0.158812654738502-π/2
    0.317625309477003-1.57079632675     		φ = -1.25317102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42046621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25317102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.801410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2244 KachelY 6484 -1.42046621 -1.25317102 -81.386719 -71.801410
    Oben rechts KachelX + 1 2245 KachelY 6484 -1.41969922 -1.25317102 -81.342773 -71.801410
    Unten links KachelX 2244 KachelY + 1 6485 -1.42046621 -1.25341047 -81.386719 -71.815130
    Unten rechts KachelX + 1 2245 KachelY + 1 6485 -1.41969922 -1.25341047 -81.342773 -71.815130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25317102--1.25341047) × R
    0.00023945000000003 × 6371000     		dl = 1525.53595000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25317102--1.25341047) × R
    0.00023945000000003 × 6371000     		dr = 1525.53595000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42046621--1.41969922) × cos(-1.25317102) × R
    0.000766990000000023 × 0.312311532890939 × 6371000     		do = 1526.10820986123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42046621--1.41969922) × cos(-1.25341047) × R
    0.000766990000000023 × 0.312084051290974 × 6371000     		du = 1524.99662254941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25317102)-sin(-1.25341047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312311532890939-0.312084051290974)×R²
    abs(-1.41969922--1.42046621)×0.000227481599965107×R²
    0.000766990000000023×0.000227481599965107×6371000²
    0.000766990000000023×0.000227481599965107×40589641000000     		ar = 2327285.06565067m²