Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22438 / 47462
↖ ↑ ↗
← S 62.527526°
W 56.744385°		 ← 281.80 m → S 62.527526°
W 56.738891°		 →
↑
281.79 m
↓
↑
281.79 m
↓
S 62.530061°
W 56.744385°		 ← 281.78 m →
79 405 m²		 S 62.530061°
W 56.738891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342384338378906 y=0.724220275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342384338378906 × 216)
    floor (0.342384338378906 × 65536)
    floor (22438.5)     		tx = 22438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724220275878906 × 216)
    floor (0.724220275878906 × 65536)
    floor (47462.5)     		ty = 47462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22438 / 47462 ti = "16/22438/47462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22438/47462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22438 ÷ 216
    22438 ÷ 65536     		x = 0.342376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47462 ÷ 216
    47462 ÷ 65536     		y = 0.724212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.31524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99037635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.44842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40876960603421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99037635} λ = -0.99037635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40876960603421))-π/2
    2×atan(0.244443860452145)-π/2
    2×0.239742557805887-π/2
    0.479485115611774-1.57079632675     		φ = -1.09131121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99037635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.744385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09131121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.527526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22438 KachelY 47462 -0.99037635 -1.09131121 -56.744385 -62.527526
    Oben rechts KachelX + 1 22439 KachelY 47462 -0.99028047 -1.09131121 -56.738891 -62.527526
    Unten links KachelX 22438 KachelY + 1 47463 -0.99037635 -1.09135544 -56.744385 -62.530061
    Unten rechts KachelX + 1 22439 KachelY + 1 47463 -0.99028047 -1.09135544 -56.738891 -62.530061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09131121--1.09135544) × R
    4.42300000000895e-05 × 6371000     		dl = 281.78933000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09131121--1.09135544) × R
    4.42300000000895e-05 × 6371000     		dr = 281.78933000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99037635--0.99028047) × cos(-1.09131121) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.461322415562994 × 6371000     		do = 281.799480303971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99037635--0.99028047) × cos(-1.09135544) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.461283172815303 × 6371000     		du = 281.775508813465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09131121)-sin(-1.09135544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461322415562994-0.461283172815303)×R²
    abs(-0.99028047--0.99037635)×3.9242747690349e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.9242747690349e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.9242747690349e-05×40589641000000     		ar = 79404.7093071862m²