Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22430 / 39056
↖ ↑ ↗
← S 32.620870°
W 56.788330°		 ← 514.49 m → S 32.620870°
W 56.782837°		 →
↑
514.46 m
↓
↑
514.46 m
↓
S 32.625497°
W 56.788330°		 ← 514.47 m →
264 679 m²		 S 32.625497°
W 56.782837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342262268066406 y=0.595954895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342262268066406 × 216)
    floor (0.342262268066406 × 65536)
    floor (22430.5)     		tx = 22430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595954895019531 × 216)
    floor (0.595954895019531 × 65536)
    floor (39056.5)     		ty = 39056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22430 / 39056 ti = "16/22430/39056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22430/39056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22430 ÷ 216
    22430 ÷ 65536     		x = 0.342254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39056 ÷ 216
    39056 ÷ 65536     		y = 0.595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.31549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.99114334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.19189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.602854449621826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99114334} λ = -0.99114334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602854449621826))-π/2
    2×atan(0.547247314627492)-π/2
    2×0.500727368623626-π/2
    1.00145473724725-1.57079632675     		φ = -0.56934159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99114334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.788330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56934159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.620870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22430 KachelY 39056 -0.99114334 -0.56934159 -56.788330 -32.620870
    Oben rechts KachelX + 1 22431 KachelY 39056 -0.99104746 -0.56934159 -56.782837 -32.620870
    Unten links KachelX 22430 KachelY + 1 39057 -0.99114334 -0.56942234 -56.788330 -32.625497
    Unten rechts KachelX + 1 22431 KachelY + 1 39057 -0.99104746 -0.56942234 -56.782837 -32.625497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56934159--0.56942234) × R
    8.07500000000738e-05 × 6371000     		dl = 514.45825000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56934159--0.56942234) × R
    8.07500000000738e-05 × 6371000     		dr = 514.45825000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99114334--0.99104746) × cos(-0.56934159) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.842256091790206 × 6371000     		do = 514.493380209322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99114334--0.99104746) × cos(-0.56942234) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.842212558526787 × 6371000     		du = 514.466787850933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56934159)-sin(-0.56942234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842256091790206-0.842212558526787)×R²
    abs(-0.99104746--0.99114334)×4.35332634192154e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.35332634192154e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.35332634192154e-05×40589641000000     		ar = 264678.523833783m²