Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22391 / 47456
↖ ↑ ↗
← S 62.512318°
W 57.002563°		 ← 281.91 m → S 62.512318°
W 56.997070°		 →
↑
281.92 m
↓
↑
281.92 m
↓
S 62.514853°
W 57.002563°		 ← 281.89 m →
79 473 m²		 S 62.514853°
W 56.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341667175292969 y=0.724128723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341667175292969 × 216)
    floor (0.341667175292969 × 65536)
    floor (22391.5)     		tx = 22391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724128723144531 × 216)
    floor (0.724128723144531 × 65536)
    floor (47456.5)     		ty = 47456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22391 / 47456 ti = "16/22391/47456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22391/47456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22391 ÷ 216
    22391 ÷ 65536     		x = 0.341659545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47456 ÷ 216
    47456 ÷ 65536     		y = 0.72412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.341659545898438 × 2 - 1) × π
    -0.316680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99488241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40819436323877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99488241} λ = -0.99488241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40819436323877))-π/2
    2×atan(0.244584515473275)-π/2
    2×0.239875277867554-π/2
    0.479750555735108-1.57079632675     		φ = -1.09104577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99488241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.002563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09104577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.512318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22391 KachelY 47456 -0.99488241 -1.09104577 -57.002563 -62.512318
    Oben rechts KachelX + 1 22392 KachelY 47456 -0.99478654 -1.09104577 -56.997070 -62.512318
    Unten links KachelX 22391 KachelY + 1 47457 -0.99488241 -1.09109002 -57.002563 -62.514853
    Unten rechts KachelX + 1 22392 KachelY + 1 47457 -0.99478654 -1.09109002 -56.997070 -62.514853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09104577--1.09109002) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dl = 281.916749999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09104577--1.09109002) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dr = 281.916749999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99488241--0.99478654) × cos(-1.09104577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461557906320937 × 6371000     		do = 281.913924327628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99488241--0.99478654) × cos(-1.09109002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461518651247904 × 6371000     		du = 281.889947809109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09104577)-sin(-1.09109002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461557906320937-0.461518651247904)×R²
    abs(-0.99478654--0.99488241)×3.92550730333174e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92550730333174e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92550730333174e-05×40589641000000     		ar = 79472.8776480456m²